ГДЗ 10-11 Класс Номер 33.6 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) $\sqrt[3]{\mathrm{0,125}}$

б) $\sqrt[4]{\mathrm{0,0625}}$

в) $\sqrt[4]{\mathrm{0,0081}}$

г) $\sqrt[3]{\mathrm{0,027}}$

Вычислить значение:

а) $\sqrt[3]{0{,}125} = \sqrt[3]{\frac{125}{1\,000}} = \sqrt[3]{\frac{5^3}{10^3}} = \frac{5}{10} = 0{,}5$;
Ответ: 0,5.

б) $\sqrt[4]{0{,}0625} = \sqrt[4]{\frac{625}{10\,000}} = \sqrt[4]{\frac{5^4}{10^4}} = \frac{5}{10} = 0{,}5$;
Ответ: 0,5.

в) $\sqrt[4]{0{,}0081} = \sqrt[4]{\frac{81}{10\,000}} = \sqrt[4]{\frac{3^4}{10^4}} = \frac{3}{10} = 0{,}3$;
Ответ: 0,3.

г) $\sqrt[3]{0{,}027} = \sqrt[3]{\frac{27}{1\,000}} = \sqrt[3]{\frac{3^3}{10^3}} = \frac{3}{10} = 0{,}3$;
Ответ: 0,3.

Чтобы вычислить корень:

$$\sqrt[n]{a},$$

следует по возможности представить число $a$ как дробь со знаменателем и числителем, которые являются степенями. Это позволяет упростить выражение:

$$\sqrt[n]{\frac{b^n}{c^n}} = \frac{b}{c}, \quad \text{если } b, c > 0$$

И затем результат можно выразить в десятичной форме.

а) $\sqrt[3]{0{,}125}$

Шаг 1. Переведём десятичную дробь в обыкновенную:

$$0{,}125 = \frac{125}{1000}$$

Шаг 2. Представим числитель и знаменатель как степени:

$$125 = 5^3,\quad 1000 = 10^3 \Rightarrow \frac{125}{1000} = \frac{5^3}{10^3}$$

Шаг 3. Извлекаем корень третьей степени:

$$\sqrt[3]{\frac{5^3}{10^3}} = \frac{5}{10}$$

Шаг 4. Переводим в десятичную дробь:

$$\frac{5}{10} = 0{,}5$$

Ответ: 0,5

б) $\sqrt[4]{0{,}0625}$

Шаг 1. Переведём в дробь:

$$0{,}0625 = \frac{625}{10\,000}$$

Шаг 2. Представим в виде степеней:

$$625 = 5^4,\quad 10\,000 = 10^4 \Rightarrow \frac{625}{10\,000} = \frac{5^4}{10^4}$$

Шаг 3. Извлекаем корень четвёртой степени:

$$\sqrt[4]{\frac{5^4}{10^4}} = \frac{5}{10}$$

Шаг 4. Переводим в десятичную дробь:

$$\frac{5}{10} = 0{,}5$$

Ответ: 0,5

в) $\sqrt[4]{0{,}0081}$

Шаг 1. Переведём в дробь:

$$0{,}0081 = \frac{81}{10\,000}$$

Шаг 2. Представим как степени:

$$81 = 3^4,\quad 10\,000 = 10^4 \Rightarrow \frac{81}{10\,000} = \frac{3^4}{10^4}$$

Шаг 3. Извлекаем корень четвёртой степени:

$$\sqrt[4]{\frac{3^4}{10^4}} = \frac{3}{10}$$

Шаг 4. Переводим в десятичную дробь:

$$\frac{3}{10} = 0{,}3$$

Ответ: 0,3

г) $\sqrt[3]{0{,}027}$

Шаг 1. Переведём в дробь:

$$0{,}027 = \frac{27}{1000}$$

Шаг 2. Представим как степени:

$$27 = 3^3,\quad 1000 = 10^3 \Rightarrow \frac{27}{1000} = \frac{3^3}{10^3}$$

Шаг 3. Извлекаем корень третьей степени:

$$\sqrt[3]{\frac{3^3}{10^3}} = \frac{3}{10}$$

Шаг 4. Переводим в десятичную дробь:

$$\frac{3}{10} = 0{,}3$$

Ответ: 0,3