ГДЗ 10-11 Класс Номер 33.7 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) $\sqrt[4]{\frac{16}{625}}$

б) $\sqrt[3]{3\frac{3}{8}}$

в) $\sqrt{\frac{100}{121}}$

г) $\sqrt[5]{7\frac{19}{32}}$

Вычислить значение:

а) $\sqrt[4]{\frac{16}{625}} = \sqrt[4]{\frac{2^4}{5^4}} = \frac{2}{5} = 0{,}4$;
Ответ: 0,4.

б) $\sqrt[3]{3\frac{3}{8}} = \sqrt[3]{\frac{3 \cdot 8 + 3}{8}} = \sqrt[3]{\frac{27}{8}} = \sqrt[3]{\frac{3^3}{2^3}} = \frac{3}{2} = 1{,}5$;
Ответ: 1,5.

в) $\sqrt{\frac{100}{121}} = \frac{\sqrt{10^2}}{\sqrt{11^2}} = \frac{10}{11}$;
Ответ: $\frac{10}{11}$.

г) $\sqrt[5]{7\frac{19}{32}} = \sqrt[5]{\frac{7 \cdot 32 + 19}{32}} = \sqrt[5]{\frac{243}{32}} = \sqrt[5]{\frac{3^5}{2^5}} = \frac{3}{2} = 1{,}5$;
Ответ: 1,5.

Чтобы упростить выражение с корнем, полезно:

1. Перевести смешанное число в неправильную дробь.
2. Представить числитель и знаменатель как степени.
3. Воспользоваться правилом:

   $$\sqrt[n]{\frac{a^n}{b^n}} = \frac{a}{b}$$

4. Перевести результат в десятичную дробь (если требуется).

а) $\sqrt[4]{\frac{16}{625}}$

Шаг 1. Представим числитель и знаменатель в виде степеней:

• $16 = 2^4$
• $625 = 5^4$

Шаг 2. Подставим в корень:

$$\sqrt[4]{\frac{16}{625}} = \sqrt[4]{\frac{2^4}{5^4}}$$

Шаг 3. Применим правило извлечения корня из дроби:

$$\sqrt[4]{\frac{2^4}{5^4}} = \frac{2}{5}$$

Шаг 4. Переведём в десятичную дробь:

$$\frac{2}{5} = 0{,}4$$

Ответ: 0,4

б) $\sqrt[3]{3\frac{3}{8}}$

Шаг 1. Переведём смешанное число в неправильную дробь:

$$3\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 8 + 3}{8} = \frac{24 + 3}{8} = \frac{27}{8}$$

Шаг 2. Представим числитель и знаменатель в виде степеней:

• $27 = 3^3$
• $8 = 2^3$

$$\frac{27}{8} = \frac{3^3}{2^3}$$

Шаг 3. Извлекаем корень третьей степени:

$$\sqrt[3]{\frac{3^3}{2^3}} = \frac{3}{2}$$

Шаг 4. Переводим в десятичную дробь:

$$\frac{3}{2} = 1{,}5$$

Ответ: 1,5

в) $\sqrt{\frac{100}{121}}$

Шаг 1. Заметим, что здесь квадратный корень (вторая степень):

$$\sqrt{\frac{100}{121}} = \frac{\sqrt{100}}{\sqrt{121}}$$

Шаг 2. Представим подкоренные числа в виде квадратов:

• $100 = 10^2$
• $121 = 11^2$

$$\frac{\sqrt{10^2}}{\sqrt{11^2}} = \frac{10}{11}$$

Ответ: $\frac{10}{11}$

г) $\sqrt[5]{7\frac{19}{32}}$

Шаг 1. Переведём смешанное число в неправильную дробь:

$$7\frac{19}{32} = \frac{7 \cdot 32 + 19}{32} = \frac{224 + 19}{32} = \frac{243}{32}$$

Шаг 2. Представим числитель и знаменатель как степени:

• $243 = 3^5$
• $32 = 2^5$

$$\frac{243}{32} = \frac{3^5}{2^5}$$

Шаг 3. Извлекаем корень пятой степени:

$$\sqrt[5]{\frac{3^5}{2^5}} = \frac{3}{2}$$

Шаг 4. Переводим в десятичную дробь:

$$\frac{3}{2} = 1{,}5$$

Ответ: 1,5