ГДЗ 10-11 Класс Номер 34.20 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите область определения функции:

а) $y = \sqrt[4]{\frac{x — 8}{3x + 5}}$;

б) $y = \sqrt[5]{\frac{1 + 9x}{4 + 3x}}$;

в) $y = \sqrt[3]{\frac{12 — 5x}{7 — 2x}}$;

г) $y = \sqrt[6]{\frac{3 — 7x}{2x + 9}}$

Найти область определения функции:

а) $y = \sqrt[4]{\frac{x — 8}{3x + 5}}$;

Выражение имеет смысл при:

$\frac{x — 8}{3x + 5} \geq 0$;

$x < -\frac{5}{3}$ или $x \geq 8$;

Ответ: $D(y) = \left(-\infty; -1\frac{2}{3}\right) \cup [8; +\infty)$.

б) $y = \sqrt[5]{\frac{1 + 9x}{4 + 3x}}$;

Выражение имеет смысл при:

$\frac{1 + 9x}{4 + 3x} \in \mathbb{R}$;

$4 + 3x \neq 0$;

$3x \neq -4$;

$x \neq -\frac{4}{3}$;

Ответ: $D(y) = \left(-\infty; -1\frac{1}{3}\right) \cup \left(-1\frac{1}{3}; +\infty\right)$.

в) $y = \sqrt[3]{\frac{12 — 5x}{7 — 2x}}$;

Выражение имеет смысл при:

$\frac{12 — 5x}{7 — 2x} \in \mathbb{R}$;

$7 — 2x \neq 0$;

$2x \neq 7$;

$x \neq 3{,}5$;

Ответ: $D(y) = (-\infty; 3{,}5) \cup (3{,}5; +\infty)$.

г) $y = \sqrt[6]{\frac{3 — 7x}{2x + 9}}$;

Выражение имеет смысл при:

$\frac{3 — 7x}{2x + 9} \geq 0$;

$\frac{7x — 3}{2x + 9} \leq 0$;

$-4{,}5 < x \leq \frac{3}{7}$;

Ответ: $D(y) = (-4{,}5; \frac{3}{7}]$.

а) $y = \sqrt[4]{\frac{x — 8}{3x + 5}}$

Шаг 1: Анализ выражения

• Корень четвёртой степени → определён только если подкоренное выражение неотрицательно.

$$\frac{x — 8}{3x + 5} \geq 0$$

Шаг 2: Область допустимых значений

• Дробь существует при:

$$3x + 5 \neq 0 \Rightarrow x \neq -\frac{5}{3}$$

Шаг 3: Решение рационального неравенства

Рассмотрим:

$$\frac{x — 8}{3x + 5} \geq 0$$

Найдём нули числителя и знаменателя:

• Числитель: $x — 8 = 0 \Rightarrow x = 8$
• Знаменатель: $3x + 5 = 0 \Rightarrow x = -\frac{5}{3}$ — исключается

Разметим числовую прямую:

Точки: $x = -\frac{5}{3}$ (выколотая), $x = 8$

Промежутки и знаки:

Проверим знаки выражения $\frac{x — 8}{3x + 5}$ на интервалах:

• $x < -\frac{5}{3}$: обе части отрицательные → дробь положительна
• $-\frac{5}{3} < x < 8$: числитель < 0, знаменатель > 0 → дробь отрицательна
• $x > 8$: числитель > 0, знаменатель > 0 → дробь положительна

Шаг 4: Ответ

Учитывая, что в точке $x = 8$ числитель = 0, значение = 0 → входит.
И точка $x = -\frac{5}{3}$ не входит.

$$D(y) = \left(-\infty; -1\frac{2}{3}\right) \cup [8; +\infty)$$

б) $y = \sqrt[5]{\frac{1 + 9x}{4 + 3x}}$

Шаг 1: Анализ выражения

• Корень пятой степени → существует при любом значении (включая отрицательные), кроме тех, где дробь не определена.

$$\frac{1 + 9x}{4 + 3x} \in \mathbb{R} \Rightarrow 4 + 3x \neq 0 \Rightarrow x \neq -\frac{4}{3}$$

Шаг 2: Ответ

Функция определена при всех $x$, кроме:

$$x \neq -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3}$$ $$D(y) = \left(-\infty; -1\frac{1}{3}\right) \cup \left(-1\frac{1}{3}; +\infty\right)$$

в) $y = \sqrt[3]{\frac{12 — 5x}{7 — 2x}}$

Шаг 1: Анализ выражения

• Корень третьей степени: определён при любом значении, кроме тех, где дробь не определена.

Шаг 2: Условие существования дроби

$$7 — 2x \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{7}{2} = 3{,}5$$

Шаг 3: Ответ

$$D(y) = (-\infty; 3{,}5) \cup (3{,}5; +\infty)$$

г) $y = \sqrt[6]{\frac{3 — 7x}{2x + 9}}$

Шаг 1: Анализ выражения

• Корень шестой степени — чётная степень → подкоренное выражение должно быть ≥ 0.

$$\frac{3 — 7x}{2x + 9} \geq 0$$

Шаг 2: Преобразование неравенства

$$\frac{3 — 7x}{2x + 9} \geq 0 \Rightarrow \frac{7x — 3}{2x + 9} \leq 0$$

Шаг 3: Найдём нули числителя и знаменателя

• $7x — 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{7}$
• $2x + 9 = 0 \Rightarrow x = -\frac{9}{2} = -4{,}5$ — исключается

Шаг 4: Разметим числовую прямую

Точки: $x = -4{,}5$ (выколотая), $x = \frac{3}{7}$

Проверим знаки на промежутках:

• $x < -4{,}5$: числитель < 0, знаменатель < 0 → дробь > 0
• $-4{,}5 < x < \frac{3}{7}$: числитель < 0, знаменатель > 0 → дробь < 0
• $x > \frac{3}{7}$: числитель > 0, знаменатель > 0 → дробь > 0

Искомое неравенство:

$$\frac{7x — 3}{2x + 9} \leq 0 \Rightarrow \text{берём участок, где дробь ≤ 0: } x \in (-4{,}5; \frac{3}{7}]$$

Шаг 5: Ответ

$$D(y) = (-4{,}5; \frac{3}{7}]$$

Итоговые ответы:

а) $D(y) = \left(-\infty; -1\frac{2}{3}\right) \cup [8; +\infty)$
б) $D(y) = \left(-\infty; -1\frac{1}{3}\right) \cup \left(-1\frac{1}{3}; +\infty\right)$
в) $D(y) = (-\infty; 3{,}5) \cup (3{,}5; +\infty)$
г) $D(y)=(-\mathrm{4,5};\frac{3}{7}]$