ГДЗ 10-11 Класс Номер 34.21 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите область определения функции:

а) $y = \sqrt[4]{\frac{2x — 5}{4x + 8}} + \frac{\sqrt{x^2 + 2x — 3}}{x — 3}$;

б) $y = \frac{\sqrt[9]{x^2 — 5x}}{2x + 2} — \sqrt{\frac{2x + 3}{x — 4}}$

Найти область определения функции:

а) $y = \sqrt[4]{\frac{2x — 5}{4x + 8}} + \frac{\sqrt{x^2 + 2x — 3}}{x — 3}$;

Выражение имеет смысл при:

$\frac{2x — 5}{4x + 8} \geq 0$;

$x < -2$ или $x \geq 2{,}5$;

Выражение имеет смысл при:

$x^2 + 2x — 3 \geq 0$;

$D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16$, тогда:

$x_1 = \frac{-2 — 4}{2} = -3$ и $x_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1$;

$(x + 3)(x — 1) \geq 0$;

$x \leq -3$ или $x \geq 1$;

Выражение имеет смысл при:

$x — 3 \neq 0$;

$x \neq 3$;

Ответ: $D(y) = (-\infty; -3] \cup [2{,}5; 3) \cup (3; +\infty)$.

б) $y = \frac{\sqrt[9]{x^2 — 5x}}{2x + 2} — \sqrt{\frac{2x + 3}{x — 4}}$;

Выражение имеет смысл при:

$x^2 — 5x \geq 0$;

$x(x — 5) \geq 0$;

$x \leq 0$ или $x \geq 5$;

Выражение имеет смысл при:

$2x + 2 \neq 0$;

$2x \neq -2$;

$x \neq -1$;

Выражение имеет смысл при:

$\frac{2x + 3}{x — 4} \geq 0$;

$x \leq -1{,}5$ или $x > 4$;

Ответ: $D(y) = (-\infty; -1{,}5] \cup [5; +\infty)$.

а) $y = \sqrt[4]{\frac{2x — 5}{4x + 8}} + \frac{\sqrt{x^2 + 2x — 3}}{x — 3}$

Функция состоит из двух выражений:

1. $\sqrt[4]{\dfrac{2x — 5}{4x + 8}}$
2. $\dfrac{\sqrt{x^2 + 2x — 3}}{x — 3}$

I. Условие существования первого выражения

1. Корень четвёртой степени → подкоренное выражение должно быть ≥ 0:

$$\frac{2x — 5}{4x + 8} \geq 0$$

2. Найдём нули числителя и знаменателя

• $2x — 5 = 0 \Rightarrow x = 2{,}5$
• $4x + 8 = 0 \Rightarrow x = -2$

Разметим числовую прямую: точки $x = -2$ (выколотая), $x = 2{,}5$

3. Исследуем знак дроби:

Промежутки:

• $x < -2$: числитель < 0, знаменатель < 0 → дробь > 0
• $-2 < x < 2{,}5$: числитель < 0, знаменатель > 0 → дробь < 0
• $x > 2{,}5$: числитель > 0, знаменатель > 0 → дробь > 0

Точка $x = 2{,}5$: числитель = 0 → дробь = 0
Точка $x = -2$: знаменатель = 0 →  исключаем

4. Промежутки допустимых значений:

$$x < -2 \quad \text{или} \quad x \geq 2{,}5$$

II. Условие существования второго выражения

1. Подкоренное выражение $\sqrt{x^2 + 2x — 3}$ — корень второй степени → подкоренное выражение ≥ 0

$$x^2 + 2x — 3 \geq 0$$

Найдём корни:

$$D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$$ $$x_1 = \frac{-2 — 4}{2} = -3, \quad x_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1$$

Знаки:

$$(x + 3)(x — 1) \geq 0 \Rightarrow x \leq -3 \quad \text{или} \quad x \geq 1$$

2. Знаменатель $x — 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$

III. Пересечение всех условий

1. Из первого выражения:
   $x < -2 \cup x \geq 2{,}5$
2. Из второго выражения:
   $x \leq -3 \cup x \geq 1$
3. Исключить:
   $x \neq 3$

Построим пересечение:

• $x < -2$ и $x \leq -3$ → $x \leq -3$
• $x \geq 2{,}5$ и $x \geq 1 \Rightarrow x \geq 2{,}5$, но при этом $x \neq 3$

Итоговое пересечение:

$$x \in (-\infty; -3] \cup [2{,}5; 3) \cup (3; +\infty)$$

Ответ:

$$D(y) = (-\infty; -3] \cup [2{,}5; 3) \cup (3; +\infty)$$

б) $y = \frac{\sqrt[9]{x^2 — 5x}}{2x + 2} — \sqrt{\frac{2x + 3}{x — 4}}$

Функция состоит из двух выражений:

1. $\frac{\sqrt[9]{x^2 — 5x}}{2x + 2}$
2. $\sqrt{\frac{2x + 3}{x — 4}}$

I. Условие существования первой части

1. Корень 9-й степени — нечётный → подкоренное выражение может быть любым.

Но:
Чтобы функция была определена, нужно исключить нули знаменателя.

• $2x + 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$

2. Однако подкоренное выражение должно существовать:

$$x^2 — 5x \geq 0 \Rightarrow x(x — 5) \geq 0$$

• Решение:
  $x \leq 0 \quad \text{или} \quad x \geq 5$

II. Условие существования второго выражения

$$\sqrt{\frac{2x + 3}{x — 4}} \Rightarrow \text{подкоренное выражение должно быть } \geq 0$$

1. Исследуем знак дроби:

$$\frac{2x + 3}{x — 4} \geq 0$$

Нули:

• Числитель: $2x + 3 = 0 \Rightarrow x = -1{,}5$
• Знаменатель: $x = 4$ — исключаем

Знаки:

• $x < -1{,}5$: числитель < 0, знаменатель < 0 → дробь > 0
• $-1{,}5 < x < 4$: числитель > 0, знаменатель < 0 → дробь < 0
• $x > 4$: числитель > 0, знаменатель > 0 → дробь > 0

III. Пересечение всех условий

1. $x(x — 5) \geq 0 \Rightarrow x \leq 0 \cup x \geq 5$
2. $x \neq -1$
3. $\frac{2x + 3}{x — 4} \geq 0 \Rightarrow x \leq -1{,}5 \cup x > 4$

Объединяем:

• $x \leq 0$ и $x \leq -1{,}5$ → $x \leq -1{,}5$, при этом $x \neq -1$
• $x \geq 5$ и $x > 4$ → $x \geq 5$

Ответ:

$$D(y) = (-\infty; -1{,}5] \cup [5; +\infty)$$

Итоговые ответы:

а) $D(y) = (-\infty; -3] \cup [2{,}5; 3) \cup (3; +\infty)$
б) $D(y)=(-\mathrm{\infty };-\mathrm{1,5}]\cup [5;+\mathrm{\infty })$