ГДЗ 10-11 Класс Номер 34.23 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите область значений функции:

а) $y = 2 + \sqrt[4]{x}$;

б) $y = \sqrt[5]{x} — 3$;

в) $y = \sqrt[6]{x} — 3$;

г) $y = 2 + \sqrt[3]{x}$

Найти область значений функции:

а) $y = 2 + \sqrt[4]{x}$;
Множество значений:
$\sqrt[4]{x} \geq 0$;
$2 + \sqrt[4]{x} \geq 2$;
Ответ: $E(y) = [2; +\infty)$.

б) $y = \sqrt[5]{x} — 3$;
Множество значений:
$\sqrt[5]{x} \in \mathbb{R}$;
$(\sqrt[5]{x} — 3) \in \mathbb{R}$;
Ответ: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

в) $y = \sqrt[6]{x} — 3$;
Множество значений:
$\sqrt[6]{x} \geq 0$;
$\sqrt[6]{x} — 3 \geq -3$;
Ответ: $E(y) = [-3; +\infty)$.

г) $y = 2 + \sqrt[3]{x}$;
Множество значений:
$\sqrt[3]{x} \in \mathbb{R}$;
$(2 + \sqrt[3]{x}) \in \mathbb{R}$;
Ответ: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

а) $y = 2 + \sqrt[4]{x}$

Шаг 1: Понимание типа корня

• Степень корня: 4 → чётное число.
• Корень четной степени $\sqrt[n]{x}$ определён только при $x \geq 0$.
• И принимает только неотрицательные значения: $\sqrt[4]{x} \geq 0$

Шаг 2: Найдём возможные значения $y$

$$y = 2 + \sqrt[4]{x}$$

Так как $\sqrt[4]{x} \geq 0$, то:

$$y \geq 2$$

Минимум: при $x = 0 \Rightarrow \sqrt[4]{0} = 0 \Rightarrow y = 2$
Максимум: при $x \to +\infty \Rightarrow \sqrt[4]{x} \to +\infty \Rightarrow y \to +\infty$

Ответ:

$$E(y) = [2; +\infty)$$

б) $y = \sqrt[5]{x} — 3$

Шаг 1: Степень корня

• Степень: 5 → нечетная.
• Корень нечетной степени определён при любом $x \in \mathbb{R}$.
• И может принимать любое значение: положительное, ноль, отрицательное.

Шаг 2: Анализ функции

$$y = \sqrt[5]{x} — 3$$

• $\sqrt[5]{x} \in (-\infty; +\infty)$
• Значит:

  $$y = (\text{всё } \mathbb{R}) — 3 \Rightarrow y \in (-\infty; +\infty)$$

Ответ:

$$E(y) = (-\infty; +\infty)$$

в) $y = \sqrt[6]{x} — 3$

Шаг 1: Чётный корень

• Степень: 6 → чётная
• $\sqrt[6]{x}$ определён только при $x \geq 0$ и всегда $\geq 0$

Шаг 2: Анализ значений

$$y = \sqrt[6]{x} — 3 \Rightarrow \text{вычитаем 3 из неотрицательного числа}$$

• $\sqrt[6]{x} \in [0; +\infty)$
• Значит:

  $$y \in [-3; +\infty)$$

• Минимум: $x = 0 \Rightarrow y = 0 — 3 = -3$
• При $x \to +\infty \Rightarrow y \to +\infty$

Ответ:

$$E(y) = [-3; +\infty)$$

г) $y = 2 + \sqrt[3]{x}$

Шаг 1: Нечётный корень

• Степень: 3 → нечетная
• $\sqrt[3]{x} \in \mathbb{R}$

Шаг 2: Анализ значений

$$y = 2 + \sqrt[3]{x}$$

• $\sqrt[3]{x} \in (-\infty; +\infty)$
• Значит:

  $$y \in (-\infty; +\infty)$$

• При $x \to -\infty \Rightarrow y \to -\infty$
• При $x \to +\infty \Rightarrow y \to +\infty$

Ответ:

$$E(y)=(-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty })$$