ГДЗ 10-11 Класс Номер 34.6 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = \sqrt[4]{x}$:

а) на отрезке [0; 1];

б) на полуинтервале [1; 3);

в) на отрезке [5; 16];

г) на луче [16; $[16; +\infty)$

Найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = \sqrt[4]{x}$
(Все функции вида $y = \sqrt[n]{x}$ монотонно возрастают):

а) На отрезке $[0; 1]$:
$y(0) = \sqrt[4]{0} = 0$;
$y(1) = \sqrt[4]{1} = 1$;
Ответ:
$y_{\text{наим}} = 0$;
$y_{\text{наиб}} = 1$.

б) На полуинтервале $[1; 3)$:
$y(1) = \sqrt[4]{1} = 1$;
Функция возрастает, но точка 3 в промежуток не входит.
Ответ:
$y_{\text{наим}} = 1$;
$y_{\text{наиб}}$ — нет.

в) На отрезке $[5; 16]$:
$y(5) = \sqrt[4]{5}$;
$y(16) = \sqrt[4]{16} = 2$;
Ответ:
$y_{\text{наим}} = \sqrt[4]{5}$;
$y_{\text{наиб}} = 2$.

г) На луче $[16; +\infty)$:
$y(16) = \sqrt[4]{16} = 2$;
Функция возрастает, верхней границы нет.
Ответ:
$y_{\text{наим}} = 2$;
$y_{\text{наиб}}$ — нет.

а) На отрезке $[0; 1]$

1. Функция:
$y = \sqrt[4]{x}$

2. Область определения:
Функция определена при $x \geq 0$.
Отрезок $[0; 1]$ полностью входит в область определения.

3. Характер функции:
Функция возрастает, значит, наименьшее значение — в начале отрезка, наибольшее — в конце.

4. Вычисления:

• $y(0) = \sqrt[4]{0} = 0$
• $y(1) = \sqrt[4]{1} = 1$

5. Ответ:

• $y_{\text{наим}} = 0$
• $y_{\text{наиб}} = 1$

б) На полуинтервале $[1; 3)$

1. Функция:
$y = \sqrt[4]{x}$

2. Область определения:
$x \geq 0$, значит, функция определена на всём полуинтервале $[1; 3)$

3. Характер функции:
Монотонно возрастает → минимальное значение — в начале, максимальное — в правой части.
Но правая граница не включена, поэтому наибольшего значения не существует (функция может стремиться к значению, но не достигает его).

4. Вычисления:

• $y(1) = \sqrt[4]{1} = 1$
• При $x \to 3^{-}$, $y = \sqrt[4]{x} \to \sqrt[4]{3} \approx 1.316$, но это значение не достигается.

5. Ответ:

• $y_{\text{наим}} = 1$
• $y_{\text{наиб}}$ — не существует

в) На отрезке $[5; 16]$

1. Функция:
$y = \sqrt[4]{x}$

2. Область определения:
$x \geq 0$, отрезок $[5; 16]$ допустим.

3. Характер функции:
Монотонно возрастает →

• Минимум при $x = 5$
• Максимум при $x = 16$

4. Вычисления:

• $y(5) = \sqrt[4]{5} \approx 1.495$
  (так как $\sqrt[4]{5} = 5^{1/4}$)
• $y(16) = \sqrt[4]{16} = \sqrt[4]{2^4} = 2$

5. Ответ:

• $y_{\text{наим}} = \sqrt[4]{5}$
• $y_{\text{наиб}} = 2$

г) На луче $[16; +\infty)$

1. Функция:
$y = \sqrt[4]{x}$

2. Область определения:
Допустимая, так как $x \geq 0$

3. Характер функции:
Монотонно возрастает:

• Минимум на левом конце — $x = 16$
• Справа функция стремится к бесконечности → наибольшего значения не существует

4. Вычисления:

• $y(16) = \sqrt[4]{16} = 2$
• При $x \to +\infty \Rightarrow y = \sqrt[4]{x} \to +\infty$

5. Ответ:

• $y_{\text{наим}} = 2$
• $y_{\text{наиб}}$ — не существует