ГДЗ 10-11 Класс Номер 34.7 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = \sqrt[5]{x}$:

а) на отрезке [-1; 1];

б) на луче ($-\mathrm{\infty }$; 1];

в) на отрезке [-32; 32];

г) на луче [2; $[2; +\infty)$.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = \sqrt[5]{x}$
(Все функции вида $y = \sqrt[n]{x}$, где $n$ нечётное, — монотонно возрастают на всей числовой прямой):

а) На отрезке $[-1; 1]$
В этом случае значения функции достигаются на концах отрезка.

• $y(-1) = \sqrt[5]{-1} = -1$
• $y(1) = \sqrt[5]{1} = 1$

Ответ:
$y_{\text{наим}} = -1$;
$y_{\text{наиб}} = 1$

б) На луче $(-\infty; 1]$
Функция возрастает, поэтому:

• Наименьшее значение не существует (уходит в $-\infty$)
• Наибольшее значение — на правом конце:
  $y(1) = \sqrt[5]{1} = 1$

Ответ:
$y_{\text{наим}}$ — нет;
$y_{\text{наиб}} = 1$

в) На отрезке $[-32; 32]$

• $y(-32) = \sqrt[5]{-32} = -2$
• $y(32) = \sqrt[5]{32} = 2$

Ответ:
$y_{\text{наим}} = -2$;
$y_{\text{наиб}} = 2$

г) На луче $[2; +\infty)$
Функция возрастает:

• Минимум на левом конце:
  $y(2) = \sqrt[5]{2}$
• Максимального значения нет (функция стремится к $+\infty$)

Ответ:
$y_{\text{наим}} = \sqrt[5]{2}$;
$y_{\text{наиб}}$ — нет.

Рассматривается функция:

$$y = \sqrt[5]{x}$$

Поскольку показатель корня нечётный, функция определена на всей числовой прямой и монотонно возрастает. Это значит, что:

• минимальное значение достигается в начале интервала;
• максимальное — в конце (если существует).

а) На отрезке $[-1; 1]$

1. Условия:

• Отрезок: $[-1; 1]$ — оба конца включены.
• Функция возрастает →
  • минимум при $x = -1$,
  • максимум при $x = 1$

2. Вычисления:

$$y(-1) = \sqrt[5]{-1} = -1$$ $$y(1) = \sqrt[5]{1} = 1$$

3. Ответ:

$$y_{\text{наим}} = -1;\quad y_{\text{наиб}} = 1$$

б) На луче $(-\infty; 1]$

1. Условия:

• Левая граница — бесконечно малая, правая граница включена.
• Функция возрастает →
  • максимальное значение при $x = 1$
  • минимального значения нет, так как при $x \to -\infty \Rightarrow y \to -\infty$

2. Вычисление:

$$y(1) = \sqrt[5]{1} = 1$$

3. Ответ:

$$y_{\text{наим}} \text{ — не существует (уходит в } -\infty);\quad y_{\text{наиб}} = 1$$

в) На отрезке $[-32; 32]$

1. Условия:

• Отрезок $[-32; 32]$, оба конца включены
• Функция возрастает →
  • минимум при $x = -32$
  • максимум при $x = 32$

2. Вычисления:

$$y(-32) = \sqrt[5]{-32} = -2\quad \text{(так как } -2^5 = -32)$$ $$y(32) = \sqrt[5]{32} = 2\quad \text{(так как } 2^5 = 32)$$

3. Ответ:

$$y_{\text{наим}} = -2;\quad y_{\text{наиб}} = 2$$

г) На луче $[2; +\infty)$

1. Условия:

• Левая граница включена, правая уходит в бесконечность.
• Функция возрастает →
  • минимум в точке $x = 2$
  • максимального значения не существует (неограниченно возрастает)

2. Вычисления:

$$y(2) = \sqrt[5]{2} \approx 1.149$$

3. Ответ:

$$y_{\text{наим}}=\sqrt[5]{2};y_{\text{наиб}}\text{ — не существует (уходит в }+\mathrm{\infty })$$