ГДЗ 10-11 Класс Номер 35.15 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Упростите выражение, считая, что все перегленные принимают только положительные значения:

а) $\sqrt{a^2{b}^4}$

б) $\sqrt[3]{a^3{b}^6}$

в) $\sqrt[4]{a^4{b}^8}$

г) $\sqrt[5]{a^5{b}^{15}}$

Упростить выражение, считая, что все переменные принимают только положительные значения:

а) $\sqrt{a^2b^4} = \sqrt[2]{a^2 \cdot b^{2\cdot2}} = ab^2$;

Ответ: $ab^2$.

б) $\sqrt[3]{a^3b^6} = \sqrt[3]{a^3 \cdot b^{3\cdot2}} = ab^2$;

Ответ: $ab^2$.

в) $\sqrt[4]{a^4b^8} = \sqrt[4]{a^4 \cdot b^{4\cdot2}} = ab^2$;

Ответ: $ab^2$.

г) $\sqrt[5]{a^5b^{15}} = \sqrt[5]{a^5 \cdot b^{5\cdot3}} = ab^3$;

Ответ: $ab^3$.

а) $\sqrt{a^2 b^4}$

Шаг 1. Перепишем через степень

$$\sqrt{a^2 b^4}=(a^2 b^4)^{1/2}.$$

Шаг 2. Вынесем степень к каждому множителю (свойство $(xy)^{\alpha}=x^{\alpha}y^{\alpha}$)

$$(a^2 b^4)^{1/2}=a^{2\cdot \frac12}\,b^{4\cdot \frac12}=a^{1}\,b^{2}.$$

Шаг 3. Учтём положительность переменных

Так как $a>0,\;b>0$, то $\sqrt{a^2}=a$, $\sqrt{b^4}=b^2$. Следовательно,

$$\sqrt{a^2 b^4}=ab^2.$$

Ответ: $ab^2$.

б) $\sqrt[3]{a^3 b^6}$

Шаг 1. Представим через показатель степени

$$\sqrt[3]{a^3 b^6}=(a^3 b^6)^{1/3}.$$

Шаг 2. Распределим показатель по множителям

$$(a^3 b^6)^{1/3}=a^{3\cdot \frac13}\,b^{6\cdot \frac13}=a^{1}\,b^{2}.$$

Комментарий

Корень нечётной степени не порождает модулей ни при каких знаках, а у нас ещё и переменные положительные. Итак,

$$\sqrt[3]{a^3 b^6}=ab^2.$$

Ответ: $ab^2$.

в) $\sqrt[4]{a^4 b^8}$

Шаг 1. Запишем в степенной форме

$$\sqrt[4]{a^4 b^8}=(a^4 b^8)^{1/4}.$$

Шаг 2. Применим правило к каждому множителю

$$(a^4 b^8)^{1/4}=a^{4\cdot \frac14}\,b^{8\cdot \frac14}=a^{1}\,b^{2}.$$

Шаг 3. Учтём положительность

При чётном корне $\sqrt[4]{a^4}=|a|$, но $a>0\Rightarrow |a|=a$. Аналогично для $b$. Значит,

$$\sqrt[4]{a^4 b^8}=ab^2.$$

Ответ: $ab^2$.

г) $\sqrt[5]{a^5 b^{15}}$

Шаг 1. Степенная запись

$$\sqrt[5]{a^5 b^{15}}=(a^5 b^{15})^{1/5}.$$

Шаг 2. Распределим показатель

$$(a^5 b^{15})^{1/5}=a^{5\cdot \frac15}\,b^{15\cdot \frac15}=a^{1}\,b^{3}.$$

Комментарий

Корень нечётной степени — без модулей. Получаем

$$\sqrt[5]{a^5 b^{15}}=ab^3.$$

Ответ: $ab^3$.

Итоги

а) $\sqrt{a^2 b^4}=ab^2$

б) $\sqrt[3]{a^3 b^6}=ab^2$

в) $\sqrt[4]{a^4 b^8}=ab^2$

г) $\sqrt[5]{a^5 b^{15}}=ab^3$