ГДЗ 10-11 Класс Номер 35.16 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Упростите выражение, считая, что все перегленные принимают только положительные значения:

а) $\sqrt{\frac{49a^4}{169b^2}}$

б) $\sqrt[4]{\frac{16a^4{b}^8}{c^{12}}}$

в) $\sqrt[3]{\frac{27a^6}{64b^3}}$

г) $\sqrt[5]{\frac{32a^{40}{b}^{30}}{243c^{15}}}$

Упростить выражение, считая, что все переменные принимают только положительные значения:

а) $\sqrt{\frac{49a^4}{169b^2}} = \sqrt{\frac{7^2 \cdot a^{2\cdot2}}{13^2 \cdot b^2}} = \frac{7a^2}{13b}$;

Ответ: $\frac{7a^2}{13b}$.

б) $\sqrt[4]{\frac{16a^4b^8}{c^{12}}} = \sqrt[4]{\frac{2^4 \cdot a^4 \cdot b^{4\cdot2}}{c^{4\cdot3}}} = \frac{2ab^2}{c^3}$;

Ответ: $\frac{2ab^2}{c^3}$.

в) $\sqrt[3]{\frac{27a^6}{64b^3}} = \sqrt[3]{\frac{3^3 \cdot a^{3\cdot2}}{4^3 \cdot b^3}} = \frac{3a^2}{4b}$;

Ответ: $\frac{3a^2}{4b}$.

г) $\sqrt[5]{\frac{32a^{40}b^{30}}{243c^{15}}} = \sqrt[5]{\frac{2^5 \cdot a^{5\cdot8} \cdot b^{5\cdot2}}{3^5 \cdot c^{5\cdot3}}} = \frac{2a^8b^2}{3c^3}$;

Ответ: $\frac{2a^8b^2}{3c^3}$.

а) $\displaystyle \sqrt{\frac{49a^4}{169b^2}}$

Шаг 1. Вынесем корень к числителю и знаменателю

$$\sqrt{\frac{49a^4}{169b^2}} =\frac{\sqrt{49a^4}}{\sqrt{169b^2}} =\frac{\sqrt{49}\,\sqrt{a^4}}{\sqrt{169}\,\sqrt{b^2}}.$$

Шаг 2. Извлечём корни из степеней и чисел

$$\sqrt{49}=7,\sqrt{169}=13,\sqrt{a^4}=a^2(\text{так как }a>0),$$

$$\sqrt{49}=7,\quad \sqrt{169}=13,\quad \sqrt{a^4}=a^2\ (\text{так как }a>0),\quad \sqrt{b^2}=b\ (\text{так как }b>0).$$

Шаг 3. Соберём результат

$$\frac{7\cdot a^2}{13\cdot b}=\frac{7a^2}{13b}.$$

Ответ: $\displaystyle \frac{7a^2}{13b}$.

б) $\displaystyle \sqrt[4]{\frac{16a^4b^8}{c^{12}}}$

Шаг 1. Представим через показатель степени $1/4$ и распределим по множителям

$$\sqrt[4]{\frac{16a^4b^8}{c^{12}}} =\left(\frac{16a^4b^8}{c^{12}}\right)^{\!1/4} =\frac{16^{1/4}\,a^{4\cdot(1/4)}\,b^{8\cdot(1/4)}}{c^{12\cdot(1/4)}}.$$

Шаг 2. Упростим показатели

$$16^{1/4}=2,\quad a^{4\cdot(1/4)}=a,\quad b^{8\cdot(1/4)}=b^2,\quad c^{12\cdot(1/4)}=c^3.$$

Шаг 3. Запишем результат

$$\frac{2ab^2}{c^3}.$$

Ответ: $\displaystyle \frac{2ab^2}{c^3}$.

в) $\displaystyle \sqrt[3]{\frac{27a^6}{64b^3}}$

Шаг 1. Используем показатель $1/3$ и распределим по множителям

$$\sqrt[3]{\frac{27a^6}{64b^3}} =\left(\frac{27a^6}{64b^3}\right)^{\!1/3} =\frac{27^{1/3}\,a^{6\cdot(1/3)}}{64^{1/3}\,b^{3\cdot(1/3)}}.$$

Шаг 2. Извлечём кубические корни и упростим степени

$$27^{1/3}=3,\quad 64^{1/3}=4,\quad a^{6\cdot(1/3)}=a^2,\quad b^{3\cdot(1/3)}=b.$$

Шаг 3. Запишем результат

$$\frac{3a^2}{4b}.$$

Ответ: $\displaystyle \frac{3a^2}{4b}$.

г) $\displaystyle \sqrt[5]{\frac{32a^{40}b^{30}}{243c^{15}}}$

Шаг 1. Показатель $1/5$ и распределение по множителям

$$\sqrt[5]{\frac{32a^{40}b^{30}}{243c^{15}}} =\left(\frac{32a^{40}b^{30}}{243c^{15}}\right)^{\!1/5} =\frac{32^{1/5}\,a^{40\cdot(1/5)}\,b^{30\cdot(1/5)}}{243^{1/5}\,c^{15\cdot(1/5)}}.$$

Шаг 2. Извлечём пятые корни и сократим показатели

$$32^{1/5}=2\ (32=2^5),\quad 243^{1/5}=3\ (243=3^5),$$ $$a^{40\cdot(1/5)}=a^8,\quad b^{30\cdot(1/5)}=b^2,\quad c^{15\cdot(1/5)}=c^3.$$

Шаг 3. Запишем результат

$$\frac{2a^8 b^2}{3c^3}.$$

Ответ: $\displaystyle \frac{2a^8b^2}{3c^3}$.

Итоговые ответы

а) $\dfrac{7a^2}{13b}$

б) $\dfrac{2ab^2}{c^3}$

в) $\dfrac{3a^2}{4b}$

г) $\dfrac{2a^8b^2}{3c^3}$