ГДЗ 10-11 Класс Номер 35.17 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Приведите радикалы к одинаковому показателю корня:

а) $\sqrt[3]{2}$ и $\sqrt[6]{3}$;

б) $\sqrt[4]{5}$ и $\sqrt[3]{9}$;

в) $\sqrt[4]{7}$ и $\sqrt[12]{8}$;

г) $\sqrt[3]{3}$ и $\sqrt[5]{2}$

Привести радикалы к одинаковому показателю корня:

а) $\sqrt[3]{2}$ и $\sqrt[6]{3}$;
$\sqrt[3]{2} = \sqrt[3\cdot2]{2^2} = \sqrt[6]{4}$;
Ответ: $\sqrt[6]{4};\ \sqrt[6]{3}$.

б) $\sqrt[4]{5}$ и $\sqrt[3]{9}$;
$\sqrt[4]{5} = \sqrt[4\cdot3]{5^3} = \sqrt[12]{125}$;
$\sqrt[3]{9} = \sqrt[3\cdot4]{9^4} = \sqrt[12]{6\,561}$;
Ответ: $\sqrt[12]{125};\ \sqrt[12]{6\,561}$.

в) $\sqrt[4]{7}$ и $\sqrt[12]{8}$;
$\sqrt[4]{7} = \sqrt[4\cdot3]{7^3} = \sqrt[12]{343}$;
Ответ: $\sqrt[12]{343};\ \sqrt[12]{8}$.

г) $\sqrt[3]{3}$ и $\sqrt[5]{2}$;
$\sqrt[3]{3} = \sqrt[3\cdot5]{3^5} = \sqrt[15]{243}$;
$\sqrt[5]{2} = \sqrt[5\cdot3]{2^3} = \sqrt[15]{8}$;
Ответ: $\sqrt[15]{243};\ \sqrt[15]{8}$.

а) $\sqrt[3]{2}$ и $\sqrt[6]{3}$

Шаг 1: Определим наименьший общий показатель корня (НОК)

Показатели корней: 3 и 6
Наименьшее общее кратное (НОК) чисел 3 и 6 — это 6

Шаг 2: Преобразуем каждый корень к корню шестой степени

Первый радикал:

$$\sqrt[3]{2} = \sqrt[6]{2^2} = \sqrt[6]{4}$$

Пояснение:
$\sqrt[3]{2} = 2^{\frac{1}{3}}$
Чтобы перейти к корню шестой степени, умножаем и числитель, и знаменатель степени на 2:
$2^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{2}{6}} = \sqrt[6]{4}$

Второй радикал:

$$\sqrt[6]{3} \quad \text{уже шестой корень, ничего менять не нужно}$$

Ответ:

$$\sqrt[6]{4};\ \sqrt[6]{3}$$

б) $\sqrt[4]{5}$ и $\sqrt[3]{9}$

Шаг 1: НОК степеней корней

Показатели: 4 и 3
НОК(4, 3) = 12

Шаг 2: Преобразуем оба радикала к корню 12-й степени

Первый радикал:

$$\sqrt[4]{5} = \sqrt[12]{5^3} = \sqrt[12]{125}$$

$5^{\frac{1}{4}} = 5^{\frac{3}{12}} = \sqrt[12]{125}$

Второй радикал:

$$\sqrt[3]{9} = \sqrt[12]{9^4} = \sqrt[12]{6\,561}$$

$9^{\frac{1}{3}} = 9^{\frac{4}{12}} = \sqrt[12]{6\,561}$

Ответ:

$$\sqrt[12]{125};\ \sqrt[12]{6\,561}$$

в) $\sqrt[4]{7}$ и $\sqrt[12]{8}$

Шаг 1: НОК(4, 12) = 12

Первый радикал:

$$\sqrt[4]{7} = \sqrt[12]{7^3} = \sqrt[12]{343}$$

$7^{\frac{1}{4}} = 7^{\frac{3}{12}} = \sqrt[12]{343}$

Второй радикал:

$$\sqrt[12]{8} \quad \text{уже нужный корень, не изменяем}$$

Ответ:

$$\sqrt[12]{343};\ \sqrt[12]{8}$$

г) $\sqrt[3]{3}$ и $\sqrt[5]{2}$

Шаг 1: НОК(3, 5) = 15

Первый радикал:

$$\sqrt[3]{3} = \sqrt[15]{3^5} = \sqrt[15]{243}$$

$3^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{5}{15}} = \sqrt[15]{243}$

Второй радикал:

$$\sqrt[5]{2} = \sqrt[15]{2^3} = \sqrt[15]{8}$$

$2^{\frac{1}{5}} = 2^{\frac{3}{15}} = \sqrt[15]{8}$

Ответ:

$$\sqrt[15]{243};\ \sqrt[15]{8}$$

Итоговые ответы:

а) $\sqrt[6]{4};\ \sqrt[6]{3}$

б) $\sqrt[12]{125};\ \sqrt[12]{6\,561}$

в) $\sqrt[12]{343};\ \sqrt[12]{8}$

г) $\sqrt[15]{243};\sqrt[15]{8}$