ГДЗ 10-11 Класс Номер 35.22 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $\sqrt[3]{ab}\cdot \sqrt[6]{4ab}$

б) $\sqrt[5]{a^4{b}^3}\cdot \sqrt[10]{a^5{b}^2}$

в) $\sqrt[6]{5a{b}^2}\cdot \sqrt[3]{5a^3{b}^4}$

г) $\sqrt[8]{6xz}\cdot \sqrt[6]{x{z}^5}$

Преобразовать заданное выражение к виду $\sqrt[n]{A}$:

а) $\sqrt[3]{ab} \cdot \sqrt[6]{4ab} = \sqrt[3 \cdot 2]{(ab)^2} \cdot \sqrt[6]{4ab} = \sqrt[6]{a^2b^2} \cdot \sqrt[6]{4ab} = \sqrt[6]{4a^3b^3}$;
Ответ: $\sqrt[6]{4a^3b^3}$.

б) $\sqrt[5]{a^4b^3} \cdot \sqrt[10]{a^5b^2} = \sqrt[5 \cdot 2]{(a^4b^3)^2} \cdot \sqrt[10]{a^5b^2} = \sqrt[10]{a^8b^6} \cdot \sqrt[10]{a^5b^2} = \sqrt[10]{a^{13}b^8}$;
Ответ: $\sqrt[10]{a^{13}b^8}$.

в) $\sqrt[6]{5ab^2} \cdot \sqrt[3]{5a^3b^4} = \sqrt[6]{5ab^2} \cdot \sqrt[3 \cdot 2]{(5a^3b^4)^2} = \sqrt[6]{5ab^2} \cdot \sqrt[6]{25a^6b^8} = \sqrt[6]{125a^7b^{10}}$;
Ответ: $\sqrt[6]{125a^7b^{10}}$.

г) $\sqrt[8]{6xz} \cdot \sqrt[6]{xz^5} = \sqrt[8 \cdot 3]{(6xz)^3} \cdot \sqrt[6 \cdot 4]{(xz^5)^4} = \sqrt[24]{216x^3z^3} \cdot \sqrt[24]{x^4z^{20}} = \sqrt[24]{216x^7z^{23}}$;
Ответ: $\sqrt[24]{216x^7z^{23}}$.

а) $\sqrt[3]{ab} \cdot \sqrt[6]{4ab}$

Исходное выражение:

$$\sqrt[3]{ab} \cdot \sqrt[6]{4ab}$$

Шаг 1: Преобразуем выражение так, чтобы одинаковые корни могли быть объединены. Чтобы это сделать, нужно привести все корни к одному знаменателю. У нас есть корни $\sqrt[3]{ab}$ и $\sqrt[6]{4ab}$. Нужно привести эти корни к одинаковому знаменателю.

Замечание: $\sqrt[3]{ab}$ можно записать как $\sqrt[3]{(ab)^1}$, а $\sqrt[6]{4ab}$ как $\sqrt[6]{(4ab)^1}$.

Шаг 2: Объединяем выражения под одним корнем с тем же индексом. Чтобы это сделать, необходимо умножить одно выражение на другое с одинаковыми корнями. Итак, мы начинаем с того, что приводим выражения к общему корню с индексом 6. Для этого умножим $\sqrt[3]{ab}$ на $\sqrt[3]{(ab)^2}$, чтобы привести к одному знаменателю:

$$\sqrt[3]{ab} = \sqrt[3 \cdot 2]{(ab)^2} = \sqrt[6]{(ab)^2}$$

Теперь получаем:

$$\sqrt[6]{(ab)^2} \cdot \sqrt[6]{4ab}$$

Шаг 3: Теперь мы можем объединить эти два выражения под общим корнем:

$$\sqrt[6]{(ab)^2 \cdot 4ab}$$

Шаг 4: Умножаем выражения под корнем:

$$(ab)^2 \cdot 4ab = a^2b^2 \cdot 4ab = 4a^3b^3$$

Шаг 5: Получаем итоговое выражение:

$$\sqrt[6]{4a^3b^3}$$

Ответ для а): $\sqrt[6]{4a^3b^3}$.

б) $\sqrt[5]{a^4b^3} \cdot \sqrt[10]{a^5b^2}$

Исходное выражение:

$$\sqrt[5]{a^4b^3} \cdot \sqrt[10]{a^5b^2}$$

Шаг 1: Приводим корни к одинаковому знаменателю. У нас есть $\sqrt[5]{a^4b^3}$ и $\sqrt[10]{a^5b^2}$. Чтобы объединить их, нужно привести их к одному корню. Приводим оба корня к корню с индексом 10.

Для этого $\sqrt[5]{a^4b^3}$ нужно привести к десятичному корню:

$$\sqrt[5]{a^4b^3} = \sqrt[5 \cdot 2]{(a^4b^3)^2} = \sqrt[10]{a^8b^6}$$

Шаг 2: Теперь у нас есть два выражения с одинаковыми индексами:

$$\sqrt[10]{a^8b^6} \cdot \sqrt[10]{a^5b^2}$$

Шаг 3: Объединяем выражения под общим корнем:

$$\sqrt[10]{(a^8b^6) \cdot (a^5b^2)}$$

Шаг 4: Умножаем выражения под корнем:

$$a^8b^6 \cdot a^5b^2 = a^{8+5}b^{6+2} = a^{13}b^8$$

Шаг 5: Получаем итоговое выражение:

$$\sqrt[10]{a^{13}b^8}$$

Ответ для б): $\sqrt[10]{a^{13}b^8}$.

в) $\sqrt[6]{5ab^2} \cdot \sqrt[3]{5a^3b^4}$

Исходное выражение:

$$\sqrt[6]{5ab^2} \cdot \sqrt[3]{5a^3b^4}$$

Шаг 1: Приводим корни к одинаковому знаменателю. У нас есть корни с индексами 6 и 3. Приводим оба выражения к корню с индексом 6.

Для этого $\sqrt[3]{5a^3b^4}$ нужно преобразовать в корень с индексом 6:

$$\sqrt[3]{5a^3b^4} = \sqrt[3 \cdot 2]{(5a^3b^4)^2} = \sqrt[6]{25a^6b^8}$$

Шаг 2: Теперь у нас есть два выражения с одинаковыми индексами:

$$\sqrt[6]{5ab^2} \cdot \sqrt[6]{25a^6b^8}$$

Шаг 3: Объединяем выражения под общим корнем:

$$\sqrt[6]{(5ab^2) \cdot (25a^6b^8)}$$

Шаг 4: Умножаем выражения под корнем:

$$5ab^2 \cdot 25a^6b^8 = 125a^{1+6}b^{2+8} = 125a^7b^{10}$$

Шаг 5: Получаем итоговое выражение:

$$\sqrt[6]{125a^7b^{10}}$$

Ответ для в): $\sqrt[6]{125a^7b^{10}}$.

г) $\sqrt[8]{6xz} \cdot \sqrt[6]{xz^5}$

Исходное выражение:

$$\sqrt[8]{6xz} \cdot \sqrt[6]{xz^5}$$

Шаг 1: Приводим корни к одинаковому знаменателю. У нас есть корни с индексами 8 и 6. Приводим их к общему корню с индексом 24.

Для этого $\sqrt[8]{6xz}$ нужно преобразовать в корень с индексом 24:

$$\sqrt[8]{6xz} = \sqrt[8 \cdot 3]{(6xz)^3} = \sqrt[24]{(6xz)^3}$$

Также $\sqrt[6]{xz^5}$ нужно преобразовать в корень с индексом 24:

$$\sqrt[6]{xz^5} = \sqrt[6 \cdot 4]{(xz^5)^4} = \sqrt[24]{(xz^5)^4}$$

Шаг 2: Теперь у нас есть два выражения с одинаковыми индексами:

$$\sqrt[24]{(6xz)^3} \cdot \sqrt[24]{(xz^5)^4}$$

Шаг 3: Объединяем выражения под общим корнем:

$$\sqrt[24]{(6xz)^3 \cdot (xz^5)^4}$$

Шаг 4: Умножаем выражения под корнем:

$$(6xz)^3 = 216x^3z^3, \quad (xz^5)^4 = x^4z^{20}$$ $$216x^3z^3 \cdot x^4z^{20} = 216x^{3+4}z^{3+20} = 216x^7z^{23}$$

Шаг 5: Получаем итоговое выражение:

$$\sqrt[24]{216x^7z^{23}}$$

Ответ для г): $\sqrt[24]{216x^7z^{23}}$.

Итоговые ответы:

а) $\sqrt[6]{4a^3b^3}$

б) $\sqrt[10]{a^{13}b^8}$

в) $\sqrt[6]{125a^7b^{10}}$

г) $\sqrt[24]{216x^7z^{23}}$