ГДЗ 10-11 Класс Номер 35.25 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $\frac{1}{2} \sqrt[3]{5x} + 13 + \frac{\sqrt[3]{5x}}{5} = 2\sqrt[3]{5x}$;

б) $\sqrt[4]{2x} + \sqrt[4]{32x} + \sqrt[4]{162x} = 6$

Решить уравнение:

а) $\frac{1}{2} \sqrt[3]{5x} + 13 + \frac{\sqrt[3]{5x}}{5} = 2\sqrt[3]{5x}$;

$$2\sqrt[3]{5x} — \frac{\sqrt[3]{5x}}{2} — \frac{\sqrt[3]{5x}}{5} = 13;$$ $$\sqrt[3]{5x} \cdot \left( 2 — \frac{1}{2} — \frac{1}{5} \right) = 13;$$ $$\sqrt[3]{5x} \cdot (2 — 0,5 — 0,2) = 13;$$ $$\sqrt[3]{5x} \cdot 1,3 = 13;$$ $$\sqrt[3]{5x} = 10;$$ $$5x = 1000;$$ $$x = 200;$$

Ответ: 200.

б) $\sqrt[4]{2x} + \sqrt[4]{32x} + \sqrt[4]{162x} = 6$;

$$\sqrt[4]{2x} + \sqrt[4]{16 \cdot 2x} + \sqrt[4]{81 \cdot 2x} = 6;$$ $$\sqrt[4]{2x} \cdot (1 + \sqrt[4]{16} + \sqrt[4]{81}) = 6;$$ $$\sqrt[4]{2x} \cdot (1 + 2 + 3) = 6;$$ $$\sqrt[4]{2x} \cdot 6 = 6;$$ $$\sqrt[4]{2x} = 1;$$ $$2x = 1;$$ $$x = 0,5;$$

Ответ: 0,5.

Задача а) $\frac{1}{2} \sqrt[3]{5x} + 13 + \frac{\sqrt[3]{5x}}{5} = 2\sqrt[3]{5x}$

Шаг 1: Переносим все слагаемые, содержащие $\sqrt[3]{5x}$, на одну сторону уравнения

Исходное уравнение:

$$\frac{1}{2} \sqrt[3]{5x} + 13 + \frac{\sqrt[3]{5x}}{5} = 2\sqrt[3]{5x}$$

Переносим все слагаемые, содержащие $\sqrt[3]{5x}$, на одну сторону, а число 13 — на другую сторону:

$$\frac{1}{2} \sqrt[3]{5x} + \frac{\sqrt[3]{5x}}{5} — 2\sqrt[3]{5x} = -13$$

Теперь у нас с левой стороны только выражения с $\sqrt[3]{5x}$.

Шаг 2: Приводим подобные слагаемые

Для того чтобы упростить левую часть, нужно привести дроби к общему знаменателю. Найдем общий знаменатель для $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{5}$, а также учтем коэффициент перед $2\sqrt[3]{5x}$, который тоже нужно будет привести к общему знаменателю.

$\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{5}$ имеют общий знаменатель 10, поэтому перепишем эти дроби:

$$\frac{1}{2} \sqrt[3]{5x} = \frac{5}{10} \sqrt[3]{5x}, \quad \frac{1}{5} \sqrt[3]{5x} = \frac{2}{10} \sqrt[3]{5x}$$

Перепишем уравнение, используя общий знаменатель:

$$\frac{5}{10} \sqrt[3]{5x} + \frac{2}{10} \sqrt[3]{5x} — 2\sqrt[3]{5x} = -13$$

Теперь приведем все слагаемые с $\sqrt[3]{5x}$ в одну дробь:

$$\frac{5}{10} \sqrt[3]{5x} + \frac{2}{10} \sqrt[3]{5x} = \frac{7}{10} \sqrt[3]{5x}$$

Таким образом, уравнение преобразуется в:

$$\frac{7}{10} \sqrt[3]{5x} — 2\sqrt[3]{5x} = -13$$

Шаг 3: Убираем общий множитель

Чтобы упростить уравнение, из второго слагаемого вынесем $\sqrt[3]{5x}$ за скобки:

$$\left( \frac{7}{10} — 2 \right) \sqrt[3]{5x} = -13$$

Преобразуем $2$ в дробь с общим знаменателем:

$$\frac{7}{10} — 2 = \frac{7}{10} — \frac{20}{10} = \frac{-13}{10}$$

Теперь у нас уравнение:

$$\frac{-13}{10} \sqrt[3]{5x} = -13$$

Шаг 4: Убираем дробь

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 10:

$$-13 \sqrt[3]{5x} = -130$$

Теперь разделим обе части на $-13$, чтобы выразить $\sqrt[3]{5x}$:

$$\sqrt[3]{5x} = 10$$

Шаг 5: Возводим обе части в куб

Чтобы избавиться от кубического корня, возведем обе части уравнения в куб:

$$5x = 10^3 = 1000$$

Шаг 6: Находим $x$

Теперь решаем для $x$:

$$x = \frac{1000}{5} = 200$$

Ответ для а): $x = 200$.

Задача б) $\sqrt[4]{2x} + \sqrt[4]{32x} + \sqrt[4]{162x} = 6$

Шаг 1: Упрощаем выражения внутри корней

Исходное уравнение:

$$\sqrt[4]{2x} + \sqrt[4]{32x} + \sqrt[4]{162x} = 6$$

Прежде чем продолжить, упростим выражения внутри корней:

$$\sqrt[4]{32x} = \sqrt[4]{16 \cdot 2x}, \quad \sqrt[4]{162x} = \sqrt[4]{81 \cdot 2x}$$

Теперь у нас уравнение:

$$\sqrt[4]{2x} + \sqrt[4]{16 \cdot 2x} + \sqrt[4]{81 \cdot 2x} = 6$$

Шаг 2: Вынесем общий множитель

Все корни имеют общий множитель $\sqrt[4]{2x}$, вынесем его за скобки:

$$\sqrt[4]{2x} \cdot (1 + \sqrt[4]{16} + \sqrt[4]{81}) = 6$$

Теперь вычислим $\sqrt[4]{16}$ и $\sqrt[4]{81}$:

$$\sqrt[4]{16} = 2, \quad \sqrt[4]{81} = 3$$

Подставляем эти значения в уравнение:

$$\sqrt[4]{2x} \cdot (1 + 2 + 3) = 6$$

Шаг 3: Упростим выражение

Теперь у нас:

$$\sqrt[4]{2x} \cdot 6 = 6$$

Разделим обе стороны на 6:

$$\sqrt[4]{2x} = 1$$

Шаг 4: Возводим обе части в четвертую степень

Чтобы избавиться от четвертого корня, возведем обе части уравнения в четвертую степень:

$$2x = 1$$

Шаг 5: Находим $x$

Теперь решаем для $x$:

$$x = \frac{1}{2} = 0,5$$

Ответ для б): $x = 0,5$.

Итоговые ответы:

а) $x = 200$

б) $x=0,5$