ГДЗ 10-11 Класс Номер 35.26 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) $\sqrt[4]{6+2\sqrt{5}}\cdot \sqrt[4]{6-2\sqrt{5}}$

б) $\sqrt[5]{6-2\sqrt{17}}\cdot \sqrt[5]{6+2\sqrt{17}}$

в) $\sqrt[3]{8 — \sqrt{37}} \cdot \sqrt[3]{8 + \sqrt{37}} = \sqrt[3]{(8 — \sqrt{37})(8 + \sqrt{37})} = \sqrt[3]{64 — 37} = \sqrt[3]{27} = 3;$

г) $\sqrt[3]{\sqrt{17}+3}\cdot \sqrt[3]{\sqrt{17}-3}$

Вычислить значение:

а) $\sqrt[4]{6+2\sqrt{5}}\cdot \sqrt[4]{6-2\sqrt{5}}=\sqrt[4]{(6+2\sqrt{5})(6-2\sqrt{5})}=\sqrt[4]{36-4\cdot 5}=$

$\sqrt[4]{6 + 2\sqrt{5}} \cdot \sqrt[4]{6 — 2\sqrt{5}} = \sqrt[4]{(6 + 2\sqrt{5})(6 — 2\sqrt{5})} = \sqrt[4]{36 — 4 \cdot 5} = \sqrt[4]{36 — 20} = \sqrt[4]{16} = 2;$

Ответ: 2.

б) $\sqrt[5]{6-2\sqrt{17}}\cdot \sqrt[5]{6+2\sqrt{17}}=\sqrt[5]{(6-2\sqrt{17})(6+2\sqrt{17})}=\sqrt[5]{36-4\cdot 17}=$

$\sqrt[5]{6 — 2\sqrt{17}} \cdot \sqrt[5]{6 + 2\sqrt{17}} = \sqrt[5]{(6 — 2\sqrt{17})(6 + 2\sqrt{17})} = \sqrt[5]{36 — 4 \cdot 17} = \sqrt[5]{36 — 68} = \sqrt[5]{-32} = -\sqrt[5]{32} = -2;$

Ответ: -2.

в) $\sqrt[3]{8 — \sqrt{37}} \cdot \sqrt[3]{8 + \sqrt{37}} = \sqrt[3]{(8 — \sqrt{37})(8 + \sqrt{37})} = \sqrt[3]{64 — 37} = \sqrt[3]{27} = 3;$

Ответ: 3.

г) $\sqrt[3]{\sqrt{17} + 3} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{17} — 3} = \sqrt[3]{(\sqrt{17} + 3)(\sqrt{17} — 3)} = \sqrt[3]{17 — 9} = \sqrt[3]{8} = 2;$

Ответ: 2.

Задача а) $\sqrt[4]{6 + 2\sqrt{5}} \cdot \sqrt[4]{6 — 2\sqrt{5}}$

Шаг 1: Применяем свойство произведения корней

У нас есть два четвертых корня, и нам нужно найти их произведение. Для этого воспользуемся свойством произведения корней одинакового вида:

$$\sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[4]{b} = \sqrt[4]{a \cdot b}$$

Таким образом, мы получаем:

$$\sqrt[4]{6 + 2\sqrt{5}} \cdot \sqrt[4]{6 — 2\sqrt{5}} = \sqrt[4]{(6 + 2\sqrt{5})(6 — 2\sqrt{5})}$$

Шаг 2: Применяем формулу разности квадратов

Теперь, внутри корня, у нас выражение $(6 + 2\sqrt{5})(6 — 2\sqrt{5})$. Это можно привести к более простому виду с помощью формулы разности квадратов $(a + b)(a — b) = a^2 — b^2$. В нашем случае:

$$a = 6, \quad b = 2\sqrt{5}$$

Применяем формулу разности квадратов:

$$(6 + 2\sqrt{5})(6 — 2\sqrt{5}) = 6^2 — (2\sqrt{5})^2$$

Вычислим каждую часть:

$$6^2 = 36, \quad (2\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20$$

Получаем:

$$36 — 20 = 16$$

Шаг 3: Извлекаем четвертый корень

Теперь у нас выражение:

$$\sqrt[4]{16}$$

Четвертый корень из 16 — это 2, потому что:

$$2^4 = 16$$

Ответ для а): $2$.

Задача б) $\sqrt[5]{6 — 2\sqrt{17}} \cdot \sqrt[5]{6 + 2\sqrt{17}}$

Шаг 1: Применяем свойство произведения корней

Как и в предыдущей задаче, для произведения корней одинакового вида используем следующее свойство:

$$\sqrt[5]{a} \cdot \sqrt[5]{b} = \sqrt[5]{a \cdot b}$$

Таким образом, получаем:

$$\sqrt[5]{6 — 2\sqrt{17}} \cdot \sqrt[5]{6 + 2\sqrt{17}} = \sqrt[5]{(6 — 2\sqrt{17})(6 + 2\sqrt{17})}$$

Шаг 2: Применяем формулу разности квадратов

Внутри корня мы имеем выражение $(6 — 2\sqrt{17})(6 + 2\sqrt{17})$, которое снова можно упростить с помощью формулы разности квадратов:

$$(6 — 2\sqrt{17})(6 + 2\sqrt{17}) = 6^2 — (2\sqrt{17})^2$$

Вычислим каждую часть:

$$6^2 = 36, \quad (2\sqrt{17})^2 = 4 \cdot 17 = 68$$

Таким образом:

$$36 — 68 = -32$$

Шаг 3: Извлекаем пятый корень

Теперь у нас выражение:

$$\sqrt[5]{-32}$$

Пятый корень из $-32$ равен $-2$, так как:

$$(-2)^5 = -32$$

Ответ для б): $-2$.

Задача в) $\sqrt[3]{8 — \sqrt{37}} \cdot \sqrt[3]{8 + \sqrt{37}}$

Шаг 1: Применяем свойство произведения корней

Для произведения кубических корней используем аналогичное свойство:

$$\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{a \cdot b}$$

Таким образом, получаем:

$$\sqrt[3]{8 — \sqrt{37}} \cdot \sqrt[3]{8 + \sqrt{37}} = \sqrt[3]{(8 — \sqrt{37})(8 + \sqrt{37})}$$

Шаг 2: Применяем формулу разности квадратов

Теперь внутри корня снова используем формулу разности квадратов:

$$(8 — \sqrt{37})(8 + \sqrt{37}) = 8^2 — (\sqrt{37})^2$$

Вычислим:

$$8^2 = 64, \quad (\sqrt{37})^2 = 37$$

Получаем:

$$64 — 37 = 27$$

Шаг 3: Извлекаем кубический корень

Теперь у нас выражение:

$$\sqrt[3]{27}$$

Кубический корень из 27 равен 3, потому что:

$$3^3 = 27$$

Ответ для в): $3$.

Задача г) $\sqrt[3]{\sqrt{17} + 3} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{17} — 3}$

Шаг 1: Применяем свойство произведения корней

Для произведения кубических корней используем то же свойство:

$$\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{a \cdot b}$$

Таким образом, получаем:

$$\sqrt[3]{\sqrt{17} + 3} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{17} — 3} = \sqrt[3]{(\sqrt{17} + 3)(\sqrt{17} — 3)}$$

Шаг 2: Применяем формулу разности квадратов

Внутри корня снова применяем формулу разности квадратов:

$$(\sqrt{17} + 3)(\sqrt{17} — 3) = (\sqrt{17})^2 — 3^2$$

Вычислим:

$$(\sqrt{17})^2 = 17, \quad 3^2 = 9$$

Получаем:

$$17 — 9 = 8$$

Шаг 3: Извлекаем кубический корень

Теперь у нас выражение:

$$\sqrt[3]{8}$$

Кубический корень из 8 равен 2, потому что:

$$2^3 = 8$$

Ответ для г): $2$.

Итоговые ответы:

а) $2$

б) $-2$

в) $3$

г) $2$