ГДЗ 10-11 Класс Номер 35.27 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $\sqrt[3]{x} — 2\sqrt[6]{x} = 0$;

б) $\sqrt{x} — 5\sqrt[4]{x} + 6 = 0$;

в) $\sqrt[6]{x} + 2\sqrt[3]{x} — 1 = 0$;

г) $\sqrt[4]{x} + 2\sqrt[8]{x} — 3 = 0$

Решить уравнение:

а) $\sqrt[3]{x} — 2\sqrt[6]{x} = 0$;

$$\sqrt[6]{x} \cdot (\sqrt[6]{x} — 2) = 0;$$

Первое уравнение:

$$\sqrt[6]{x} = 0; x = 0;$$

Второе уравнение:

$$\sqrt[6]{x} — 2 = 0; \sqrt[6]{x} = 2; x = 64;$$

Ответ: 0; 64.

б) $\sqrt{x} — 5\sqrt[4]{x} + 6 = 0$;
Пусть $y = \sqrt[4]{x}$, тогда:

$$y^2-5y+6=0;$$

$$y^2 — 5y + 6 = 0;$$ $$D=5^2-4\cdot 6=25-24=1,\text{тогда}:$$

$$D = 5^2 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1, тогда: y_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2 \text{ и } y_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3;$$

Первое значение:

$$\sqrt[4]{x} = 2; x = 16;$$

Второе значение:

$$\sqrt[4]{x} = 3; x = 81;$$

Ответ: 16; 81.

в) $\sqrt[6]{x} + 2\sqrt[3]{x} — 1 = 0$;
Пусть $y = \sqrt[6]{x}$, тогда:

$$2y^2+y-1=0;$$

$$2y^2 + y — 1 = 0;$$ $$D=1^2+4\cdot 2=1+8=9,\text{тогда}:$$

$$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9, тогда: y_1 = \frac{-1 — 3}{2 \cdot 2} = -\frac{4}{4} = -1; y_2 = \frac{-1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2};$$

Первое значение:

$$\sqrt[6]{x} = -1; x \in \varnothing;$$

Второе значение:

$$\sqrt[6]{x} = \frac{1}{2}; x = \frac{1}{64};$$

Ответ: $\frac{1}{64}$.

г) $\sqrt[4]{x} + 2\sqrt[8]{x} — 3 = 0$;
Пусть $y = \sqrt[8]{x}$, тогда:

$$y^2+2y-3=0;$$

$$y^2 + 2y — 3 = 0;$$ $$D=2^2+4\cdot 3=4+12=16,\text{тогда}:$$

$$D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16, тогда: y_1 = \frac{-2 — 4}{2} = -3 \text{ и } y_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1;$$

Первое значение:

$$\sqrt[8]{x} = -3; x \in \varnothing;$$

Второе значение:

$$\sqrt[8]{x} = 1; x = 1;$$

Ответ: 1.

Задача а) $\sqrt[3]{x} — 2\sqrt[6]{x} = 0$

Шаг 1: Приводим уравнение к общему виду

Исходное уравнение:

$$\sqrt[3]{x} — 2\sqrt[6]{x} = 0$$

В данном уравнении у нас два корня: кубический и шестой. Чтобы упростить его, нужно привести все выражения к корням с одинаковым индексом. Заметим, что $\sqrt[3]{x}$ можно выразить через $\sqrt[6]{x}$. Для этого перепишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $\sqrt[6]{x^2}$, поскольку:

$$\sqrt[3]{x} = (x^{1/3}) = x^{2/6} = \sqrt[6]{x^2}$$

Теперь у нас уравнение:

$$\sqrt[6]{x^2} — 2\sqrt[6]{x} = 0$$

Шаг 2: Вынесем общий множитель

Вынесем $\sqrt[6]{x}$ за скобки:

$$\sqrt[6]{x} \cdot (\sqrt[6]{x} — 2) = 0$$

Шаг 3: Разбираем полученные уравнения

Теперь у нас два множителя, и для того чтобы произведение равно нулю, один из множителей должен быть равен нулю.

Первое уравнение:

$$\sqrt[6]{x} = 0$$

Так как $\sqrt[6]{x} = 0$, то $x = 0$.

Второе уравнение:

$$\sqrt[6]{x} — 2 = 0$$

Преобразуем его:

$$\sqrt[6]{x} = 2$$

Теперь возведем обе стороны уравнения в шестую степень, чтобы избавиться от корня:

$$x = 2^6 = 64$$

Шаг 4: Ответ

Таким образом, у нас два возможных значения для $x$:

$$x = 0 \quad \text{или} \quad x = 64$$

Ответ для а): $0; 64$.

Задача б) $\sqrt{x} — 5\sqrt[4]{x} + 6 = 0$

Шаг 1: Вводим новую переменную

Исходное уравнение:

$$\sqrt{x} — 5\sqrt[4]{x} + 6 = 0$$

Для упрощения введем новую переменную $y$, такую что:

$$y = \sqrt[4]{x}$$

Тогда $\sqrt{x} = y^2$, так как $\sqrt{x} = (x^{1/4})^2 = y^2$.

Подставляем эти выражения в исходное уравнение:

$$y^2 — 5y + 6 = 0$$

Шаг 2: Решаем квадратное уравнение

Теперь у нас простое квадратное уравнение:

$$y^2 — 5y + 6 = 0$$

Для его решения используем формулу дискриминанта:

$$D = b^2 — 4ac$$

где $a = 1$, $b = -5$, $c = 6$. Подставляем значения:

$$D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 — 24 = 1$$

Теперь находим корни уравнения с помощью формулы:

$$y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$ $$y_1 = \frac{-(-5) — \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 — 1}{2} = 2$$ $$y_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 1}{2} = 3$$

Шаг 3: Подставляем обратно значения $y$

Теперь возвращаемся к переменной $y$ и подставляем найденные значения:

$y = 2$:

$$\sqrt[4]{x} = 2 \quad \Rightarrow \quad x = 2^4 = 16$$

$y = 3$:

$$\sqrt[4]{x} = 3 \quad \Rightarrow \quad x = 3^4 = 81$$

Шаг 4: Ответ

Таким образом, значения $x$ равны:

$$x = 16 \quad \text{и} \quad x = 81$$

Ответ для б): $16; 81$.

Задача в) $\sqrt[6]{x} + 2\sqrt[3]{x} — 1 = 0$

Шаг 1: Вводим новую переменную

Исходное уравнение:

$$\sqrt[6]{x} + 2\sqrt[3]{x} — 1 = 0$$

Для упрощения введем переменную $y$, такую что:

$$y = \sqrt[6]{x}$$

Тогда $\sqrt[3]{x} = y^2$, так как $\sqrt[3]{x} = (x^{1/6})^2 = y^2$.

Подставляем это в исходное уравнение:

$$y + 2y^2 — 1 = 0$$

Шаг 2: Решаем квадратное уравнение

Теперь у нас получается квадратное уравнение:

$$2y^2 + y — 1 = 0$$

Для его решения используем формулу дискриминанта:

$$D = b^2 — 4ac$$

где $a = 2$, $b = 1$, $c = -1$. Подставляем значения:

$$D = 1^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$$

Теперь находим корни уравнения:

$$y_1 = \frac{-1 — \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 — 3}{4} = -1$$ $$y_2 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

Шаг 3: Подставляем обратно значения $y$

Теперь возвращаемся к переменной $y$ и подставляем найденные значения:

$y = -1$:

$$\sqrt[6]{x} = -1 \quad \Rightarrow \quad x \in \varnothing \quad (\text{не существует, так как \( x \) должно быть положительным})$$

$y = \frac{1}{2}$:

$$\sqrt[6]{x} = \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad x = \left(\frac{1}{2}\right)^6 = \frac{1}{64}$$

Шаг 4: Ответ

Таким образом, значение $x$ равно:

$$x = \frac{1}{64}$$

Ответ для в): $\frac{1}{64}$.

Задача г) $\sqrt[4]{x} + 2\sqrt[8]{x} — 3 = 0$

Шаг 1: Вводим новую переменную

Исходное уравнение:

$$\sqrt[4]{x} + 2\sqrt[8]{x} — 3 = 0$$

Для упрощения введем переменную $y$, такую что:

$$y = \sqrt[8]{x}$$

Тогда $\sqrt[4]{x} = y^2$, так как $\sqrt[4]{x} = (x^{1/8})^2 = y^2$.

Подставляем это в исходное уравнение:

$$y^2 + 2y — 3 = 0$$

Шаг 2: Решаем квадратное уравнение

Теперь у нас квадратное уравнение:

$$y^2 + 2y — 3 = 0$$

Для его решения используем формулу дискриминанта:

$$D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$$

Теперь находим корни уравнения:

$$y_1 = \frac{-2 — \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 — 4}{2} = -3$$ $$y_2 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 + 4}{2} = 1$$

Шаг 3: Подставляем обратно значения $y$

Теперь возвращаемся к переменной $y$ и подставляем найденные значения:

$y = -3$:

$$\sqrt[8]{x} = -3 \quad \Rightarrow \quad x \in \varnothing \quad (\text{не существует, так как \( x \) должно быть положительным})$$

$y = 1$:

$$\sqrt[8]{x} = 1 \quad \Rightarrow \quad x = 1^8 = 1$$

Шаг 4: Ответ

Таким образом, значение $x$ равно:

$$x = 1$$

Ответ для г): $1$.

Итоговые ответы:

а) $0; 64$

б) $16; 81$

в) $\frac{1}{64}$

г) $1$