ГДЗ 10-11 Класс Номер 35.28 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Докажите, что $2f(x) = f(128x)$, если $f(x) = \sqrt[7]{x}$.

Доказать, что $2f(x) = f(128x)$, если $f(x) = \sqrt[7]{x}$;

Левая часть равенства:

$$2f(x) = 2\sqrt[7]{x}$$

Правая часть равенства:

$$f(128x) = \sqrt[7]{128x} = \sqrt[7]{2^7 \cdot x} = 2\sqrt[7]{x}$$

Обе части равны, что и требовалось доказать.

Нужно доказать, что:

$$2f(x) = f(128x)$$

если:

$$f(x) = \sqrt[7]{x}$$

Шаг 1: Левая часть равенства

Левая часть уравнения — это выражение $2f(x)$. Подставим в это выражение $f(x) = \sqrt[7]{x}$:

$$2f(x) = 2\sqrt[7]{x}$$

Здесь мы просто умножили $f(x) = \sqrt[7]{x}$ на 2. Это выражение пока не имеет явных преобразований, оно просто записано в более удобной форме.

Шаг 2: Правая часть равенства

Правая часть уравнения — это выражение $f(128x)$. Нужно найти, чему равно $f(128x)$. По определению функции $f(x) = \sqrt[7]{x}$, то:

$$f(128x) = \sqrt[7]{128x}$$

Теперь нужно упростить $\sqrt[7]{128x}$. Мы можем выразить $128x$ как произведение $128 \cdot x$, и $128$ можно записать как $2^7$, так как:

$$128 = 2^7$$

Следовательно:

$$\sqrt[7]{128x} = \sqrt[7]{2^7 \cdot x}$$

Согласно свойствам корней, а именно $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$, можем разделить корень:

$$\sqrt[7]{2^7 \cdot x} = \sqrt[7]{2^7} \cdot \sqrt[7]{x}$$

Поскольку $\sqrt[7]{2^7} = 2$ (потому что $2^7$ под седьмым корнем дает 2), то получаем:

$$\sqrt[7]{2^7 \cdot x} = 2\sqrt[7]{x}$$

Итак, правая часть равенства:

$$f(128x) = 2\sqrt[7]{x}$$

Шаг 3: Сравнение левой и правой части

Теперь у нас есть обе части уравнения:

1. Левая часть: $2\sqrt[7]{x}$
2. Правая часть: $2\sqrt[7]{x}$

Мы видим, что левая и правая части равны.

Шаг 4: Заключение

Таким образом, обе части равны, и мы доказали, что:

$$2f(x) = f(128x)$$

что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство завершено.