ГДЗ 10-11 Класс Номер 35.29 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Докажите, что $2f(x) = f(32x)$, если $f(x) = 2\sqrt[5]{x}$.

Доказать, что $2f(x) = f(32x)$, если $f(x) = 2\sqrt[5]{x}$;

Левая часть равенства:

$$2f(x) = 2 \cdot 2\sqrt[5]{x} = 4\sqrt[5]{x}$$

Правая часть равенства:

$$f(32x) = 2\sqrt[5]{32x} = 2\sqrt[5]{2^5 \cdot x} = 2 \cdot 2\sqrt[5]{x} = 4\sqrt[5]{x}$$

Обе части равны, что и требовалось доказать.

Доказать, что $2f(x) = f(32x)$, если $f(x) = 2\sqrt[5]{x}$.

Шаг 1: Левая часть уравнения

Нам нужно вычислить левую часть уравнения:

$$2f(x)$$

Из условия задачи нам известно, что $f(x) = 2\sqrt[5]{x}$. Подставим это в левую часть уравнения:

$$2f(x) = 2 \cdot 2\sqrt[5]{x} = 4\sqrt[5]{x}$$

Таким образом, левая часть уравнения равна:

$$4\sqrt[5]{x}$$

Шаг 2: Правая часть уравнения

Теперь перейдем ко второй части уравнения $f(32x)$.

Шаг 2.1: Подставляем выражение для $f(x)$

По условию, функция $f(x)$ задана как $f(x) = 2\sqrt[5]{x}$. Чтобы найти $f(32x)$, подставим $32x$ вместо $x$ в формулу для $f(x)$:

$$f(32x) = 2\sqrt[5]{32x}$$

Шаг 2.2: Упростим $\sqrt[5]{32x}$

Давайте упростим выражение $\sqrt[5]{32x}$. Мы можем разложить $32x$ на множители:

$$32x = 2^5 \cdot x$$

Теперь подставим это в корень:

$$\sqrt[5]{32x} = \sqrt[5]{2^5 \cdot x}$$

Используем свойство корня, которое гласит, что $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$, чтобы разделить корень на два:

$$\sqrt[5]{2^5 \cdot x} = \sqrt[5]{2^5} \cdot \sqrt[5]{x}$$

Поскольку $\sqrt[5]{2^5} = 2$, получаем:

$$\sqrt[5]{2^5 \cdot x} = 2 \cdot \sqrt[5]{x}$$

Шаг 2.3: Подставляем в выражение для $f(32x)$

Теперь подставим найденное выражение для $\sqrt[5]{32x}$ в формулу для $f(32x)$:

$$f(32x) = 2 \cdot (2 \cdot \sqrt[5]{x}) = 2 \cdot 2 \cdot \sqrt[5]{x} = 4\sqrt[5]{x}$$

Шаг 3: Сравнение левой и правой частей

Теперь мы видим, что обе части уравнения:

1. Левая часть: $4\sqrt[5]{x}$
2. Правая часть: $4\sqrt[5]{x}$

Обе части равны, и это завершает доказательство.

Шаг 4: Заключение

Мы доказали, что:

$$2f(x) = f(32x)$$

что и требовалось доказать.

Ответ: Уравнение доказано.