ГДЗ 10-11 Класс Номер 35.6 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите значение числового выражения:$\text{exception 25:}$

а) $\sqrt[4]{\frac{7^8}{3^4}}$

б) $\sqrt[3]{\frac{5^6}{3^9}}$

в) $\sqrt[4]{\frac{3^{12}}{2^8}}\frac{\text{exception 25:}}{}$

г) $\sqrt[5]{\frac{5^5}{{13}^{10}}}$

Найти значение числового выражения:

а) $\sqrt[4]{\frac{7^8}{3^4}} = \frac{\sqrt[4]{78}}{\sqrt[4]{3^4}} = \frac{\sqrt[4]{7^4 \cdot 2}}{3} = \frac{7^2}{3} = \frac{49}{3} = 16\frac{1}{3}$;

Ответ: $16\frac{1}{3}$.

б) $\sqrt[3]{\frac{5^6}{3^9}} = \frac{\sqrt[3]{56}}{\sqrt[3]{3^9}} = \frac{\sqrt[3]{5^3 \cdot 2}}{\sqrt[3]{3^{3 \cdot 3}}} = \frac{5^2}{3^3} = \frac{25}{27}$;

Ответ: $\frac{25}{27}$.

в) $\sqrt[4]{\frac{3^{12}}{2^8}} = \frac{\sqrt[4]{3^{12}}}{\sqrt[4]{2^8}} = \frac{\sqrt[4]{3^{4 \cdot 3}}}{\sqrt[4]{2^{4 \cdot 2}}} = \frac{3^3}{2^2} = \frac{27}{4} = 6\frac{3}{4}$;

Ответ: $6\frac{3}{4}$.

г) $\sqrt[5]{\frac{5^5}{13^{10}}} = \frac{\sqrt[5]{5^5}}{\sqrt[5]{13^{10}}} = \frac{5}{\sqrt[5]{13^{5 \cdot 2}}} = \frac{5}{13^2} = \frac{5}{169}$;

Ответ: $\frac{5}{169}$.

а) $\sqrt[4]{\dfrac{7^8}{3^4}}$

Шаг 1. Применяем правило:

$$\sqrt[4]{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt[4]{a}}{\sqrt[4]{b}}$$ $$\Rightarrow \sqrt[4]{\dfrac{7^8}{3^4}} = \dfrac{\sqrt[4]{7^8}}{\sqrt[4]{3^4}}$$

Шаг 2. Упростим каждую часть:

$$\sqrt[4]{7^8} = \sqrt[4]{(7^4)^2} = 7^2 = 49$$ $$\sqrt[4]{3^4} = 3$$

Шаг 3. Выполним деление:

$$\dfrac{49}{3} = 16 \dfrac{1}{3}$$

Ответ: $16\dfrac{1}{3}$

б) $\sqrt[3]{\dfrac{5^6}{3^9}}$

Шаг 1. Используем правило:

$$\sqrt[3]{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}} \Rightarrow \dfrac{\sqrt[3]{5^6}}{\sqrt[3]{3^9}}$$

Шаг 2. Упростим числитель и знаменатель:

• $5^6 = (5^3)^2 \Rightarrow \sqrt[3]{5^6} = \sqrt[3]{(5^3)^2} = 5^2 = 25$
• $3^9 = (3^3)^3 \Rightarrow \sqrt[3]{3^9} = 3^3 = 27$

Шаг 3. Делим:

$$\dfrac{25}{27}$$

Ответ: $\dfrac{25}{27}$

в) $\sqrt[4]{\dfrac{3^{12}}{2^8}}$

Шаг 1. Разделим корень:

$$\sqrt[4]{\dfrac{3^{12}}{2^8}} = \dfrac{\sqrt[4]{3^{12}}}{\sqrt[4]{2^8}}$$

Шаг 2. Упростим обе части:

• $3^{12} = (3^4)^3 \Rightarrow \sqrt[4]{3^{12}} = 3^3 = 27$
• $2^8 = (2^4)^2 \Rightarrow \sqrt[4]{2^8} = 2^2 = 4$

Шаг 3. Делим:

$$\dfrac{27}{4} = 6 \dfrac{3}{4}$$

Ответ: $6\dfrac{3}{4}$

г) $\sqrt[5]{\dfrac{5^5}{13^{10}}}$

Шаг 1. Разделим корень:

$$\sqrt[5]{\dfrac{5^5}{13^{10}}} = \dfrac{\sqrt[5]{5^5}}{\sqrt[5]{13^{10}}}$$

Шаг 2. Упростим каждую часть:

• $\sqrt[5]{5^5} = 5$
• $\sqrt[5]{13^{10}} = \sqrt[5]{(13^5)^2} = 13^2 = 169$

Шаг 3. Делим:

$$\dfrac{5}{169}$$

Ответ: $\dfrac{5}{169}$

Итоговые ответы:

а) $16\dfrac{1}{3}$

б) $\dfrac{25}{27}$

в) $6\dfrac{3}{4}$

г) ${\displaystyle \frac{5}{169}}$