ГДЗ 10-11 Класс Номер 36.11 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Расположите числа в порядке возрастания:

а) $\sqrt{3}$, $\sqrt[3]{4}$ и $\sqrt[6]{18}$;

б) $\sqrt[5]{4}$, $\sqrt[3]{2}$ и $\sqrt[15]{40}$;

в) $\sqrt[5]{3}$, $\sqrt[3]{2}$ и $\sqrt[15]{30}$;

г) $\sqrt[4]{4}$, $\sqrt[6]{3}$ и $\sqrt[3]{2}$

Расположить числа в порядке возрастания:

а) $\sqrt{3}$, $\sqrt[3]{4}$ и $\sqrt[6]{18}$;
$\sqrt{3} = \sqrt[2\cdot3]{3^3} = \sqrt[6]{27}$;
$\sqrt[3]{4} = \sqrt[3\cdot2]{4^2} = \sqrt[6]{16}$;
Ответ: $\sqrt[3]{4}; \sqrt[6]{18}; \sqrt{3}$.

б) $\sqrt[5]{4}$, $\sqrt[3]{2}$ и $\sqrt[15]{40}$;
$\sqrt[5]{4} = \sqrt[5\cdot3]{4^3} = \sqrt[15]{64}$;
$\sqrt[3]{2} = \sqrt[3\cdot5]{2^5} = \sqrt[15]{32}$;
Ответ: $\sqrt[3]{2}; \sqrt[15]{40}; \sqrt[5]{4}$.

в) $\sqrt[5]{3}$, $\sqrt[3]{2}$ и $\sqrt[15]{30}$;
$\sqrt[5]{3} = \sqrt[5\cdot3]{3^3} = \sqrt[15]{27}$;
$\sqrt[3]{2} = \sqrt[3\cdot5]{2^5} = \sqrt[15]{32}$;
Ответ: $\sqrt[5]{3}; \sqrt[15]{30}; \sqrt[3]{2}$.

г) $\sqrt[4]{4}$, $\sqrt[6]{3}$ и $\sqrt[3]{2}$;
$\sqrt[4]{4} = \sqrt[4\cdot3]{4^3} = \sqrt[12]{64}$;
$\sqrt[6]{3} = \sqrt[6\cdot2]{3^2} = \sqrt[12]{9}$;
$\sqrt[3]{2} = \sqrt[3\cdot4]{2^4} = \sqrt[12]{16}$;
Ответ: $\sqrt[6]{3}; \sqrt[3]{2}; \sqrt[4]{4}$.

а) $\sqrt{3}$, $\sqrt[3]{4}$ и $\sqrt[6]{18}$

1. Преобразуем $\sqrt{3}$ в корень шестой степени:

Мы знаем, что $\sqrt{3} = \sqrt[2]{3}$. Чтобы привести это к корню шестой степени, мы умножаем степень на 3:

$$\sqrt{3} = \sqrt[2 \cdot 3]{3^3} = \sqrt[6]{27}.$$

2. Преобразуем $\sqrt[3]{4}$ в корень шестой степени:

Преобразуем $\sqrt[3]{4}$ так, чтобы он был выражен через корень шестой степени. Для этого умножим степень на 2:

$$\sqrt[3]{4} = \sqrt[3 \cdot 2]{4^2} = \sqrt[6]{16}.$$

3. Преобразуем $\sqrt[6]{18}$:

Это уже выражение в нужной степени, оставляем его без изменений:

$$\sqrt[6]{18}.$$

4. Сравниваем все выражения:

Теперь у нас есть три выражения:

$$\sqrt[6]{27}, \quad \sqrt[6]{16}, \quad \sqrt[6]{18}.$$

Чтобы сравнить эти выражения, достаточно сравнить их подкоренные выражения, так как степени одинаковые:

$$27 > 18 > 16.$$

Таким образом, порядок возрастания будет:

$$\sqrt[3]{4} < \sqrt[6]{18} < \sqrt{3}.$$

Ответ: $\sqrt[3]{4}; \sqrt[6]{18}; \sqrt{3}$.

б) $\sqrt[5]{4}$, $\sqrt[3]{2}$ и $\sqrt[15]{40}$

1. Преобразуем $\sqrt[5]{4}$ в корень пятнадцатой степени:

Преобразуем $\sqrt[5]{4}$ в корень пятнадцатой степени. Для этого умножим степень на 3:

$$\sqrt[5]{4} = \sqrt[5 \cdot 3]{4^3} = \sqrt[15]{64}.$$

2. Преобразуем $\sqrt[3]{2}$ в корень пятнадцатой степени:

Преобразуем $\sqrt[3]{2}$ в корень пятнадцатой степени. Для этого умножим степень на 5:

$$\sqrt[3]{2} = \sqrt[3 \cdot 5]{2^5} = \sqrt[15]{32}.$$

3. Преобразуем $\sqrt[15]{40}$:

Это уже выражение в нужной степени, оставляем его без изменений:

$$\sqrt[15]{40}.$$

4. Сравниваем все выражения:

Теперь у нас есть три выражения:

$$\sqrt[15]{64}, \quad \sqrt[15]{32}, \quad \sqrt[15]{40}.$$

Сравниваем подкоренные выражения:

$$64 > 40 > 32.$$

Таким образом, порядок возрастания будет:

$$\sqrt[3]{2} < \sqrt[15]{40} < \sqrt[5]{4}.$$

Ответ: $\sqrt[3]{2}; \sqrt[15]{40}; \sqrt[5]{4}$.

в) $\sqrt[5]{3}$, $\sqrt[3]{2}$ и $\sqrt[15]{30}$

1. Преобразуем $\sqrt[5]{3}$ в корень пятнадцатой степени:

Преобразуем $\sqrt[5]{3}$ в корень пятнадцатой степени. Для этого умножим степень на 3:

$$\sqrt[5]{3} = \sqrt[5 \cdot 3]{3^3} = \sqrt[15]{27}.$$

2. Преобразуем $\sqrt[3]{2}$ в корень пятнадцатой степени:

Преобразуем $\sqrt[3]{2}$ в корень пятнадцатой степени. Для этого умножим степень на 5:

$$\sqrt[3]{2} = \sqrt[3 \cdot 5]{2^5} = \sqrt[15]{32}.$$

3. Преобразуем $\sqrt[15]{30}$:

Это уже выражение в нужной степени, оставляем его без изменений:

$$\sqrt[15]{30}.$$

4. Сравниваем все выражения:

Теперь у нас есть три выражения:

$$\sqrt[15]{27}, \quad \sqrt[15]{32}, \quad \sqrt[15]{30}.$$

Сравниваем подкоренные выражения:

$$32 > 30 > 27.$$

Таким образом, порядок возрастания будет:

$$\sqrt[5]{3} < \sqrt[15]{30} < \sqrt[3]{2}.$$

Ответ: $\sqrt[5]{3}; \sqrt[15]{30}; \sqrt[3]{2}$.

г) $\sqrt[4]{4}$, $\sqrt[6]{3}$ и $\sqrt[3]{2}$

1. Преобразуем $\sqrt[4]{4}$ в корень двенадцатой степени:

Преобразуем $\sqrt[4]{4}$ в корень двенадцатой степени. Для этого умножим степень на 3:

$$\sqrt[4]{4} = \sqrt[4 \cdot 3]{4^3} = \sqrt[12]{64}.$$

2. Преобразуем $\sqrt[6]{3}$ в корень двенадцатой степени:

Преобразуем $\sqrt[6]{3}$ в корень двенадцатой степени. Для этого умножим степень на 2:

$$\sqrt[6]{3} = \sqrt[6 \cdot 2]{3^2} = \sqrt[12]{9}.$$

3. Преобразуем $\sqrt[3]{2}$ в корень двенадцатой степени:

Преобразуем $\sqrt[3]{2}$ в корень двенадцатой степени. Для этого умножим степень на 4:

$$\sqrt[3]{2} = \sqrt[3 \cdot 4]{2^4} = \sqrt[12]{16}.$$

4. Сравниваем все выражения:

Теперь у нас есть три выражения:

$$\sqrt[12]{64}, \quad \sqrt[12]{9}, \quad \sqrt[12]{16}.$$

Сравниваем подкоренные выражения:

$$64 > 16 > 9.$$

Таким образом, порядок возрастания будет:

$$\sqrt[6]{3} < \sqrt[3]{2} < \sqrt[4]{4}.$$

Ответ: $\sqrt[6]{3}; \sqrt[3]{2}; \sqrt[4]{4}$.