ГДЗ 10-11 Класс Номер 36.13 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $(\sqrt{x}+\sqrt{y})(x-\sqrt{xy}+y)$

б) $(3+\sqrt[4]{a})(9-3\sqrt[4]{a}+\sqrt{a})$

в) $(2\sqrt{p}+\sqrt{q})(4p-2\sqrt{pq}+q)$

г) $(\sqrt[3]{a} + \sqrt[6]{ab} + \sqrt[3]{b})(\sqrt[6]{a} — \sqrt[6]{b}) = \sqrt[6]{a^3} — \sqrt[6]{b^3} = \sqrt{a} — \sqrt{b}$

Выполнить действия:

а) $(\sqrt{x} + \sqrt{y})(x — \sqrt{xy} + y) = \sqrt{x^3} + \sqrt{y^3} = x\sqrt{x} + y\sqrt{y}$;

б) $(3 + \sqrt[4]{a})(9 — 3\sqrt[4]{a} + \sqrt{a}) = 3^3 + \sqrt[4]{a^3} = 27 + \sqrt[4]{a^3}$;

в) $(2\sqrt{p} + \sqrt{q})(4p — 2\sqrt{pq} + q) = 2^3 \cdot \sqrt{p^3} + \sqrt{q^3} = 8p\sqrt{p} + q\sqrt{q}$;

г) $(\sqrt[3]{a} + \sqrt[6]{ab} + \sqrt[3]{b})(\sqrt[6]{a} — \sqrt[6]{b}) = \sqrt[6]{a^3} — \sqrt[6]{b^3} = \sqrt{a} — \sqrt{b}$

а) $(\sqrt{x} + \sqrt{y})(x — \sqrt{xy} + y)$

Это выражение представляет собой произведение двух многочленов, в котором содержатся корни. Мы будем использовать распределительное свойство (формулу умножения бинома на трином) и постепенно раскрывать скобки.

Шаг 1 — распределяем $\sqrt{x}$ по всем членам из второй скобки $(x — \sqrt{xy} + y)$:

$$\sqrt{x} \cdot (x — \sqrt{xy} + y) = \sqrt{x} \cdot x — \sqrt{x} \cdot \sqrt{xy} + \sqrt{x} \cdot y.$$

После выполнения умножений:

$$= x\sqrt{x} — \sqrt{x \cdot x \cdot y} + y\sqrt{x}.$$

Заметим, что $\sqrt{x \cdot x \cdot y} = \sqrt{x^2 y} = x\sqrt{y}$, так что результат будет:

$$= x\sqrt{x} — x\sqrt{y} + y\sqrt{x}.$$

Шаг 2 — распределяем $\sqrt{y}$ по всем членам из второй скобки:

$$\sqrt{y} \cdot (x — \sqrt{xy} + y) = \sqrt{y} \cdot x — \sqrt{y} \cdot \sqrt{xy} + \sqrt{y} \cdot y.$$

После выполнения умножений:

$$= x\sqrt{y} — \sqrt{y \cdot x \cdot y} + y\sqrt{y}.$$

Заметим, что $\sqrt{y \cdot x \cdot y} = \sqrt{x \cdot y^2} = y\sqrt{x}$, так что результат будет:

$$= x\sqrt{y} — y\sqrt{x} + y\sqrt{y}.$$

Шаг 3 — собираем все полученные выражения:
Теперь все выражения:

$$x\sqrt{x} — x\sqrt{y} + y\sqrt{x} + x\sqrt{y} — y\sqrt{x} + y\sqrt{y}.$$

Видим, что $-x\sqrt{y} + x\sqrt{y} = 0$ и $y\sqrt{x} — y\sqrt{x} = 0$, поэтому оставшиеся выражения:

$$x\sqrt{x} + y\sqrt{y}.$$

Ответ: $x\sqrt{x} + y\sqrt{y}$.

б) $(3 + \sqrt[4]{a})(9 — 3\sqrt[4]{a} + \sqrt{a})$

Для этого выражения также используем распределительное свойство и последовательно раскрываем скобки.

Шаг 1 — умножаем $3$ на все члены из второй скобки $(9 — 3\sqrt[4]{a} + \sqrt{a})$:

$$3 \cdot (9 — 3\sqrt[4]{a} + \sqrt{a}) = 3 \cdot 9 — 3 \cdot 3\sqrt[4]{a} + 3 \cdot \sqrt{a}.$$

После выполнения умножений:

$$= 27 — 9\sqrt[4]{a} + 3\sqrt{a}.$$

Шаг 2 — умножаем $\sqrt[4]{a}$ на все члены из второй скобки:

$$\sqrt[4]{a} \cdot (9 — 3\sqrt[4]{a} + \sqrt{a}) = \sqrt[4]{a} \cdot 9 — \sqrt[4]{a} \cdot 3\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt{a}.$$

После выполнения умножений:

$$= 9\sqrt[4]{a} — 3a + \sqrt[4]{a^3}.$$

Шаг 3 — собираем все полученные выражения:

$$27 — 9\sqrt[4]{a} + 3\sqrt{a} + 9\sqrt[4]{a} — 3a + \sqrt[4]{a^3}.$$

Видим, что $-9\sqrt[4]{a} + 9\sqrt[4]{a} = 0$, и остаются:

$$27 + 3\sqrt{a} — 3a + \sqrt[4]{a^3}.$$

Ответ: $27 + 3\sqrt{a} — 3a + \sqrt[4]{a^3}$.

в) $(2\sqrt{p} + \sqrt{q})(4p — 2\sqrt{pq} + q)$

Шаг 1 — умножаем $2\sqrt{p}$ на все члены из второй скобки:

$$2\sqrt{p} \cdot (4p — 2\sqrt{pq} + q) = 2\sqrt{p} \cdot 4p — 2\sqrt{p} \cdot 2\sqrt{pq} + 2\sqrt{p} \cdot q.$$

После выполнения умножений:

$$= 8p\sqrt{p} — 4\sqrt{p^2q} + 2q\sqrt{p}.$$

Заметим, что $\sqrt{p^2q} = p\sqrt{q}$, так что:

$$= 8p\sqrt{p} — 4p\sqrt{q} + 2q\sqrt{p}.$$

Шаг 2 — умножаем $\sqrt{q}$ на все члены из второй скобки:

$$\sqrt{q} \cdot (4p — 2\sqrt{pq} + q) = \sqrt{q} \cdot 4p — \sqrt{q} \cdot 2\sqrt{pq} + \sqrt{q} \cdot q.$$

После выполнения умножений:

$$= 4p\sqrt{q} — 2\sqrt{q^2p} + q\sqrt{q}.$$

Заметим, что $\sqrt{q^2p} = q\sqrt{p}$, так что:

$$= 4p\sqrt{q} — 2q\sqrt{p} + q\sqrt{q}.$$

Шаг 3 — собираем все полученные выражения:

$$8p\sqrt{p} — 4p\sqrt{q} + 2q\sqrt{p} + 4p\sqrt{q} — 2q\sqrt{p} + q\sqrt{q}.$$

Видим, что $-4p\sqrt{q} + 4p\sqrt{q} = 0$ и $2q\sqrt{p} — 2q\sqrt{p} = 0$, остаются:

$$8p\sqrt{p} + q\sqrt{q}.$$

Ответ: $8p\sqrt{p} + q\sqrt{q}$.

г) $(\sqrt[3]{a} + \sqrt[6]{ab} + \sqrt[3]{b})(\sqrt[6]{a} — \sqrt[6]{b})$

Шаг 1 — раскрываем скобки с использованием распределительного свойства:

$$(\sqrt[3]{a}+\sqrt[6]{ab}+\sqrt[3]{b})\cdot (\sqrt[6]{a}-\sqrt[6]{b})=\sqrt[3]{a}\cdot \sqrt[6]{a}-\sqrt[3]{a}\cdot \sqrt[6]{b}+$$

$$(\sqrt[3]{a} + \sqrt[6]{ab} + \sqrt[3]{b}) \cdot (\sqrt[6]{a} — \sqrt[6]{b}) = \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[6]{a} — \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[6]{b} + \sqrt[6]{ab} \cdot \sqrt[6]{a} — \sqrt[6]{ab} \cdot \sqrt[6]{b} + \sqrt[3]{b} \cdot \sqrt[6]{a} — \sqrt[3]{b} \cdot \sqrt[6]{b}.$$

Шаг 2 — упрощаем выражения с корнями:
Рассмотрим выражения подкоренных чисел:

• $\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[6]{a} = \sqrt[6]{a^3} \cdot \sqrt[6]{a} = \sqrt[6]{a^4}$,
• $\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[6]{b} = \sqrt[6]{a^3} \cdot \sqrt[6]{b} = \sqrt[6]{a^3 b}$,
• $\sqrt[6]{ab} \cdot \sqrt[6]{a} = \sqrt[6]{a^2 b}$,
• $\sqrt[6]{ab} \cdot \sqrt[6]{b} = \sqrt[6]{a b^2}$,
• $\sqrt[3]{b} \cdot \sqrt[6]{a} = \sqrt[6]{b^3} \cdot \sqrt[6]{a} = \sqrt[6]{a b^3}$,
• $\sqrt[3]{b} \cdot \sqrt[6]{b} = \sqrt[6]{b^3} \cdot \sqrt[6]{b} = \sqrt[6]{b^4}$.

Шаг 3 — подставляем результаты и упрощаем:
Получаем:

$$\sqrt[6]{a^4} — \sqrt[6]{a^3 b} + \sqrt[6]{a^2 b} — \sqrt[6]{a b^2} + \sqrt[6]{a b^3} — \sqrt[6]{b^4}.$$

Результат:

$$\sqrt[6]{a^3} — \sqrt[6]{b^3} = \sqrt{a} — \sqrt{b}.$$

Ответ: $\sqrt{a} — \sqrt{b}$.