ГДЗ 10-11 Класс Номер 36.16 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Упростите выражение:

а) $\sqrt{50} — \sqrt[3]{3} — 6\sqrt{2} + \sqrt[3]{24} + \sqrt{8}$

б) $6\sqrt[4]{x} + \sqrt{xy} — \sqrt{9xy} — \sqrt[8]{x^2} + \frac{7}{x}\sqrt{x^3y}$

Упростить выражение:

а) $\sqrt{50} — \sqrt[3]{3} — 6\sqrt{2} + \sqrt[3]{24} + \sqrt{8}$
$= \sqrt{25 \cdot 2} — \sqrt[3]{3} — 6\sqrt{2} + \sqrt[3]{8 \cdot 3} + \sqrt{4 \cdot 2}$
$= 5\sqrt{2} — \sqrt[3]{3} — 6\sqrt{2} + 2\sqrt[3]{3} + 2\sqrt{2} = \sqrt{2} + \sqrt[3]{3}$.

Ответ: $\sqrt{2} + \sqrt[3]{3}$.

б) $6\sqrt[4]{x} + \sqrt{xy} — \sqrt{9xy} — \sqrt[8]{x^2} + \frac{7}{x}\sqrt{x^3y}$
$= 6\sqrt[4]{x} + \sqrt{xy} — 3\sqrt{xy} — \sqrt[4]{x} + \frac{7}{x} \cdot x\sqrt{xy}$
$= 5\sqrt[4]{x} — 2\sqrt{xy} + 7\sqrt{xy} = 5\sqrt[4]{x} + 5\sqrt{xy}$.

Ответ: $5\sqrt[4]{x} + 5\sqrt{xy}$.

а) $\sqrt{50} — \sqrt[3]{3} — 6\sqrt{2} + \sqrt[3]{24} + \sqrt{8}$

1. Исходное выражение:

$$\sqrt{50} — \sqrt[3]{3} — 6\sqrt{2} + \sqrt[3]{24} + \sqrt{8}$$

2. Преобразуем радикалы:

• $\sqrt{50}$:

  $$\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$$

  Пояснение: Мы разложили 50 на множители 25 и 2, потому что $\sqrt{25} = 5$, а $\sqrt{2}$ не изменяется.

• $\sqrt[3]{24}$:

  $$\sqrt[3]{24} = \sqrt[3]{8 \cdot 3} = \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{3} = 2\sqrt[3]{3}$$

  Пояснение: Мы разложили 24 на множители 8 и 3, так как $\sqrt[3]{8} = 2$, а $\sqrt[3]{3}$ не изменяется.

• $\sqrt{8}$:

  $$\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$$

  Пояснение: Мы разложили 8 на множители 4 и 2, так как $\sqrt{4} = 2$, а $\sqrt{2}$ не изменяется.

3. Подставляем эти преобразования в исходное выражение:

$$\sqrt{50} — \sqrt[3]{3} — 6\sqrt{2} + \sqrt[3]{24} + \sqrt{8} = 5\sqrt{2} — \sqrt[3]{3} — 6\sqrt{2} + 2\sqrt[3]{3} + 2\sqrt{2}$$

4. Группируем подобные радикалы:

• Для $\sqrt{2}$ имеем:

  $$5\sqrt{2} — 6\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = (5 — 6 + 2)\sqrt{2} = \sqrt{2}$$

• Для $\sqrt[3]{3}$ имеем:

  $$-\sqrt[3]{3} + 2\sqrt[3]{3} = (2 — 1)\sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{3}$$

5. Получаем окончательное выражение:

$$\sqrt{2} + \sqrt[3]{3}$$

Ответ:

$$\sqrt{2} + \sqrt[3]{3}$$

б) $6\sqrt[4]{x} + \sqrt{xy} — \sqrt{9xy} — \sqrt[8]{x^2} + \frac{7}{x}\sqrt{x^3y}$

1. Исходное выражение:

$$6\sqrt[4]{x} + \sqrt{xy} — \sqrt{9xy} — \sqrt[8]{x^2} + \frac{7}{x}\sqrt{x^3y}$$

2. Преобразуем радикалы:

• $\sqrt{9xy}$:

  $$\sqrt{9xy} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{xy} = 3\sqrt{xy}$$

  Пояснение: Мы разложили 9 на $3^2$, и извлекли квадратный корень из этого числа, а $\sqrt{xy}$ остается как есть.

• $\sqrt[8]{x^2}$:

  $$\sqrt[8]{x^2} = x^{2/8} = x^{1/4}$$

  Пояснение: Для $\sqrt[8]{x^2}$ используем правило степеней для корней, где степень в корне равна $\frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.

• $\frac{7}{x} \sqrt{x^3y}$:

  $$\frac{7}{x} \cdot \sqrt{x^3y} = \frac{7}{x} \cdot \sqrt{x^3} \cdot \sqrt{y} = \frac{7}{x} \cdot x^{3/2} \cdot \sqrt{y} = 7x^{1/2}\sqrt{y}$$

  Пояснение: Мы разложили $\sqrt{x^3}$ как $x^{3/2}$, а затем сократили $x^{3/2}$ на $x$ в числителе.

3. Подставляем эти преобразования в исходное выражение:

$$6\sqrt[4]{x} + \sqrt{xy} — 3\sqrt{xy} — x^{1/4} + 7x^{1/2}\sqrt{y}$$

4. Группируем подобные радикалы:

• Для $\sqrt{xy}$ имеем:

  $$\sqrt{xy} — 3\sqrt{xy} = (1 — 3)\sqrt{xy} = -2\sqrt{xy}$$

• Остальные радикалы остаются без изменений.

5. Получаем окончательное выражение:

$$6\sqrt[4]{x} — x^{1/4} + 7x^{1/2}\sqrt{y} — 2\sqrt{xy}$$

6. Преобразуем аналогичные радикалы:

$$6\sqrt[4]{x} — \sqrt[4]{x} = 5\sqrt[4]{x}$$

7. Получаем окончательный результат:

$$5\sqrt[4]{x} + 5\sqrt{xy}$$

Ответ:

$$5\sqrt[4]{x}+5\sqrt{xy}$$