ГДЗ 10-11 Класс Номер 36.17 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Сократите дроби, считая, что переменные принимают неотрицательные значения.

а)

$$\frac{\sqrt{10b}-\sqrt{15}}{\sqrt{15b}-\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5} \cdot (\sqrt{2b}-\sqrt{3})}{\sqrt{5} \cdot (\sqrt{3b}-1)} = \frac{\sqrt{2b}-\sqrt{3}}{\sqrt{3b}-1};$$

б)

$$\frac{\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{xy}}{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{xy}} = \frac{\sqrt[3]{x} \cdot (\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y})}{\sqrt[3]{x} \cdot (1-\sqrt[3]{y})} = \frac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y}}{1-\sqrt[3]{y}};$$

в)

$$\frac{\sqrt[4]{14}+\sqrt[4]{21k}}{\sqrt[4]{7k}-\sqrt[4]{14}} = \frac{\sqrt[4]{7} \cdot (\sqrt[4]{2}+\sqrt[4]{3k})}{\sqrt[4]{7} \cdot (\sqrt[4]{k}-\sqrt[4]{2})} = \frac{\sqrt[4]{2}+\sqrt[4]{3k}}{\sqrt[4]{k}-\sqrt[4]{2}};$$

г)

$$\frac{\sqrt[4]{a^2}-\sqrt[4]{ad}}{\sqrt[4]{3a}-\sqrt[4]{a^{2}d}}\mathrm{}$$

Сократить дробь, считая, что переменные принимают неотрицательные значения:

а)

$$\frac{\sqrt{10b}-\sqrt{15}}{\sqrt{15b}-\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5} \cdot (\sqrt{2b}-\sqrt{3})}{\sqrt{5} \cdot (\sqrt{3b}-1)} = \frac{\sqrt{2b}-\sqrt{3}}{\sqrt{3b}-1};$$

б)

$$\frac{\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{xy}}{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{xy}} = \frac{\sqrt[3]{x} \cdot (\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y})}{\sqrt[3]{x} \cdot (1-\sqrt[3]{y})} = \frac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y}}{1-\sqrt[3]{y}};$$

в)

$$\frac{\sqrt[4]{14}+\sqrt[4]{21k}}{\sqrt[4]{7k}-\sqrt[4]{14}} = \frac{\sqrt[4]{7} \cdot (\sqrt[4]{2}+\sqrt[4]{3k})}{\sqrt[4]{7} \cdot (\sqrt[4]{k}-\sqrt[4]{2})} = \frac{\sqrt[4]{2}+\sqrt[4]{3k}}{\sqrt[4]{k}-\sqrt[4]{2}};$$

г)

$$\frac{\sqrt[4]{a^2}-\sqrt[4]{ad}}{\sqrt[4]{3a}-\sqrt[4]{a^2d}} = \frac{\sqrt[4]{a} \cdot (\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{d})}{\sqrt[4]{a} \cdot (\sqrt[4]{3}-\sqrt[4]{ad})} = \frac{\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{d}}{\sqrt[4]{3}-\sqrt[4]{ad}}.$$

а)

$$\frac{\sqrt{10b}-\sqrt{15}}{\sqrt{15b}-\sqrt{5}}$$

Шаг 1. Разложим подкоренные выражения на множители:

• $\sqrt{10b} = \sqrt{2 \cdot 5 \cdot b} = \sqrt{5} \cdot \sqrt{2b}$
• $\sqrt{15} = \sqrt{3 \cdot 5} = \sqrt{5} \cdot \sqrt{3}$
• $\sqrt{15b} = \sqrt{3 \cdot 5 \cdot b} = \sqrt{5} \cdot \sqrt{3b}$
• $\sqrt{5} = \sqrt{5} \cdot 1$

Шаг 2. Вынесем общий множитель $\sqrt{5}$ в числителе и знаменателе:

$$\frac{\sqrt{5} \cdot \sqrt{2b} — \sqrt{5} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{3b} — \sqrt{5} \cdot 1}$$

Шаг 3. Вынесем $\sqrt{5}$ за скобки:

$$= \frac{\sqrt{5}(\sqrt{2b} — \sqrt{3})}{\sqrt{5}(\sqrt{3b} — 1)}$$

Шаг 4. Сократим на $\sqrt{5}$:

$$= \frac{\sqrt{2b} — \sqrt{3}}{\sqrt{3b} — 1}$$

Ответ:

$$\frac{\sqrt{2b} — \sqrt{3}}{\sqrt{3b} — 1}$$

б)

$$\frac{\sqrt[3]{x^2} — \sqrt[3]{xy}}{\sqrt[3]{x} — \sqrt[3]{xy}}$$

Шаг 1. Представим подкоренные выражения в виде произведений:

• $\sqrt[3]{x^2} = \sqrt[3]{x \cdot x} = \sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}$
• $\sqrt[3]{xy} = \sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{y}$

Шаг 2. Подставим в дробь:

Числитель:

$$\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} — \sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{y} = \sqrt[3]{x} \cdot (\sqrt[3]{x} — \sqrt[3]{y})$$

Знаменатель:

$$\sqrt[3]{x} — \sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{y} = \sqrt[3]{x} \cdot (1 — \sqrt[3]{y})$$

Шаг 3. Соберём выражение:

$$= \frac{\sqrt[3]{x} (\sqrt[3]{x} — \sqrt[3]{y})}{\sqrt[3]{x} (1 — \sqrt[3]{y})}$$

Шаг 4. Сократим на $\sqrt[3]{x}$:

$$= \frac{\sqrt[3]{x} — \sqrt[3]{y}}{1 — \sqrt[3]{y}}$$

Ответ:

$$\frac{\sqrt[3]{x} — \sqrt[3]{y}}{1 — \sqrt[3]{y}}$$

в)

$$\frac{\sqrt[4]{14} + \sqrt[4]{21k}}{\sqrt[4]{7k} — \sqrt[4]{14}}$$

Шаг 1. Разложим подкоренные выражения:

• $\sqrt[4]{14} = \sqrt[4]{2 \cdot 7} = \sqrt[4]{7} \cdot \sqrt[4]{2}$
• $\sqrt[4]{21k} = \sqrt[4]{3 \cdot 7 \cdot k} = \sqrt[4]{7} \cdot \sqrt[4]{3k}$
• $\sqrt[4]{7k} = \sqrt[4]{7} \cdot \sqrt[4]{k}$

Шаг 2. Подставим в выражение:

Числитель:

$$\sqrt[4]{7} \cdot \sqrt[4]{2} + \sqrt[4]{7} \cdot \sqrt[4]{3k} = \sqrt[4]{7} \cdot (\sqrt[4]{2} + \sqrt[4]{3k})$$

Знаменатель:

$$\sqrt[4]{7} \cdot \sqrt[4]{k} — \sqrt[4]{7} \cdot \sqrt[4]{2} = \sqrt[4]{7} \cdot (\sqrt[4]{k} — \sqrt[4]{2})$$

Шаг 3. Вынесем $\sqrt[4]{7}$:

$$= \frac{\sqrt[4]{7}(\sqrt[4]{2} + \sqrt[4]{3k})}{\sqrt[4]{7}(\sqrt[4]{k} — \sqrt[4]{2})}$$

Шаг 4. Сократим на $\sqrt[4]{7}$:

$$= \frac{\sqrt[4]{2} + \sqrt[4]{3k}}{\sqrt[4]{k} — \sqrt[4]{2}}$$

Ответ:

$$\frac{\sqrt[4]{2} + \sqrt[4]{3k}}{\sqrt[4]{k} — \sqrt[4]{2}}$$

г)

$$\frac{\sqrt[4]{a^2} — \sqrt[4]{ad}}{\sqrt[4]{3a} — \sqrt[4]{a^2d}}$$

Шаг 1. Упростим каждое выражение с помощью свойств радикалов:

• $\sqrt[4]{a^2} = \sqrt[4]{a \cdot a} = \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[4]{a}$
• $\sqrt[4]{ad} = \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[4]{d}$
• $\sqrt[4]{3a} = \sqrt[4]{3} \cdot \sqrt[4]{a}$
• $\sqrt[4]{a^2d} = \sqrt[4]{a \cdot a \cdot d} = \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[4]{d}$

Шаг 2. Подставим в числитель:

$$\sqrt[4]{a^2} — \sqrt[4]{ad} = \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[4]{a} — \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[4]{d} = \sqrt[4]{a} \cdot (\sqrt[4]{a} — \sqrt[4]{d})$$

Шаг 3. Подставим в знаменатель:

$$\sqrt[4]{3a} — \sqrt[4]{a^2d} = \sqrt[4]{3} \cdot \sqrt[4]{a} — \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[4]{d} = \sqrt[4]{a} \cdot (\sqrt[4]{3} — \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[4]{d})$$

Снова:

$$= \sqrt[4]{a} \cdot (\sqrt[4]{3} — \sqrt[4]{ad})$$

Шаг 4. Запишем дробь:

$$= \frac{\sqrt[4]{a} (\sqrt[4]{a} — \sqrt[4]{d})}{\sqrt[4]{a} (\sqrt[4]{3} — \sqrt[4]{ad})}$$

Шаг 5. Сократим на $\sqrt[4]{a}$:

$$= \frac{\sqrt[4]{a} — \sqrt[4]{d}}{\sqrt[4]{3} — \sqrt[4]{ad}}$$

Ответ:

$$\frac{\sqrt[4]{a} — \sqrt[4]{d}}{\sqrt[4]{3} — \sqrt[4]{ad}}$$

Итоговые ответы:

а)

$$\frac{\sqrt{2b} — \sqrt{3}}{\sqrt{3b} — 1}$$

б)

$$\frac{\sqrt[3]{x} — \sqrt[3]{y}}{1 — \sqrt[3]{y}}$$

в)

$$\frac{\sqrt[4]{2} + \sqrt[4]{3k}}{\sqrt[4]{k} — \sqrt[4]{2}}$$

г)

$$\frac{\sqrt[4]{a} — \sqrt[4]{d}}{\sqrt[4]{3} — \sqrt[4]{ad}}$$