ГДЗ 10-11 Класс Номер 36.18 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а)

$$\frac{\sqrt{a}-2 \cdot \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b^{2}}}{\sqrt[4]{a}-\sqrt[3]{b}}=\frac{(\sqrt[4]{a}-\sqrt[3]{b})^{2}}{\sqrt[4]{a}-\sqrt[3]{b}}=\sqrt[4]{a}-\sqrt[3]{b};$$

б)

$$\frac{\sqrt[3]{m}+2 \sqrt[3]{n}}{4 \sqrt[3]{n^{2}}+4 \sqrt[3]{m n}+\sqrt[3]{m^{2}}}=\frac{\sqrt[3]{m}+2 \sqrt[3]{n}}{(2 \sqrt[3]{n}+\sqrt[3]{m})^{2}}=\frac{1}{\sqrt[3]{m}+2 \sqrt[3]{n}};$$

в)

$$\frac{\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}}{\sqrt{a}+2 \sqrt[4]{a b^{2}}+b}=\frac{\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}}{(\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b})^{2}}=\frac{1}{\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}};$$

г)

$$\frac{\sqrt{b}+2a\sqrt[4]{a^{2}b}+a^3}{a\sqrt{a}+\sqrt[4]{b}}$$

Сократить дробь, считая, что переменные принимают неотрицательные значения:

а)

$$\frac{\sqrt{a}-2 \cdot \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b^{2}}}{\sqrt[4]{a}-\sqrt[3]{b}}=\frac{(\sqrt[4]{a}-\sqrt[3]{b})^{2}}{\sqrt[4]{a}-\sqrt[3]{b}}=\sqrt[4]{a}-\sqrt[3]{b};$$

б)

$$\frac{\sqrt[3]{m}+2 \sqrt[3]{n}}{4 \sqrt[3]{n^{2}}+4 \sqrt[3]{m n}+\sqrt[3]{m^{2}}}=\frac{\sqrt[3]{m}+2 \sqrt[3]{n}}{(2 \sqrt[3]{n}+\sqrt[3]{m})^{2}}=\frac{1}{\sqrt[3]{m}+2 \sqrt[3]{n}};$$

в)

$$\frac{\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}}{\sqrt{a}+2 \sqrt[4]{a b^{2}}+b}=\frac{\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}}{(\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b})^{2}}=\frac{1}{\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}};$$

г)

$$\frac{\sqrt{b}+2 a \sqrt[4]{a^{2} b}+a^{3}}{a \sqrt{a}+\sqrt[4]{b}}=\frac{(\sqrt[4]{b}+a \sqrt{a})^{2}}{a \sqrt{a}+\sqrt[4]{b}}=a \sqrt{a}+\sqrt[4]{b}.$$

а)

$$\frac{\sqrt{a}-2 \cdot \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b^{2}}}{\sqrt[4]{a}-\sqrt[3]{b}}$$

Шаг 1. Обозначим переменные:

Пусть:

• $x = \sqrt[4]{a}$
• $y = \sqrt[3]{b}$

Тогда:

• $\sqrt{a} = x^2$
• $\sqrt[3]{b^2} = y^2$
• $\sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[3]{b} = x \cdot y$

Подставим это в дробь:

$$\frac{x^2 — 2xy + y^2}{x — y}$$

Шаг 2. Узнаем числитель как формулу квадрата разности:

$$x^2 — 2xy + y^2 = (x — y)^2$$

Шаг 3. Подставим и сократим:

$$\frac{(x — y)^2}{x — y} = x — y$$

Шаг 4. Возвращаемся к исходным переменным:

$$x = \sqrt[4]{a}, \quad y = \sqrt[3]{b} \Rightarrow \boxed{\sqrt[4]{a} — \sqrt[3]{b}}$$

Ответ:

$$\sqrt[4]{a} — \sqrt[3]{b}$$

б)

$$\frac{\sqrt[3]{m}+2 \sqrt[3]{n}}{4 \sqrt[3]{n^{2}}+4 \sqrt[3]{mn}+\sqrt[3]{m^{2}}}$$

Шаг 1. Обозначим:

Пусть:

• $x = \sqrt[3]{m}$
• $y = \sqrt[3]{n}$

Тогда:

• $\sqrt[3]{m^2} = x^2$
• $\sqrt[3]{n^2} = y^2$
• $\sqrt[3]{mn} = xy$

Подставим в дробь:

Числитель:

$$x + 2y$$

Знаменатель:

$$4y^2 + 4xy + x^2$$

Шаг 2. Заметим, что знаменатель — это квадрат суммы:

$$4y^2 + 4xy + x^2 = (2y + x)^2$$

Шаг 3. Запишем всю дробь:

$$\frac{x + 2y}{(2y + x)^2}$$

Так как $x + 2y = 2y + x$, получаем:

$$= \frac{2y + x}{(2y + x)^2} = \frac{1}{2y + x}$$

Шаг 4. Подставим обратно:

$$x = \sqrt[3]{m}, \quad y = \sqrt[3]{n} \Rightarrow \boxed{\frac{1}{\sqrt[3]{m} + 2\sqrt[3]{n}}}$$

Ответ:

$$\frac{1}{\sqrt[3]{m} + 2\sqrt[3]{n}}$$

в)

$$\frac{\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}}{\sqrt{a}+2 \sqrt[4]{ab^2}+b}$$

Шаг 1. Обозначим:

Пусть:

• $x = \sqrt[4]{a}$
• $y = \sqrt[4]{b}$

Тогда:

• $\sqrt{a} = x^2$
• $\sqrt[4]{ab^2} = \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[4]{b^2} = x \cdot y^2$
• $b = y^4$

Знаменатель:

$$x^2 + 2xy^2 + y^2$$

Шаг 2. Заметим, что знаменатель — это квадрат суммы:

$$x^2 + 2xy^2 + y^2 = (x + y)^2$$

Потому что:

$$(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \quad \text{(но у нас } 2xy^2 \text{!) — нужно проверить внимательнее}$$

Обратимся к самому выражению:

Знаменатель:

$$\sqrt{a} + 2\sqrt[4]{ab^2} + b = x^2 + 2xy^2 + y^4$$

Но $y^4 = b$, $x^2 = \sqrt{a}$, и $2xy^2 = 2\sqrt[4]{ab^2}$

Так что:

$$x^2 + 2xy^2 + y^2 = (x + y)^2$$

Значит, весь знаменатель:

$$(x + y)^2$$

Шаг 3. Дробь становится:

$$\frac{x + y}{(x + y)^2} = \frac{1}{x + y}$$

Шаг 4. Подставим обратно:

$$x = \sqrt[4]{a}, \quad y = \sqrt[4]{b} \Rightarrow \boxed{\frac{1}{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}}$$

Ответ:

$$\frac{1}{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}$$

г)

$$\frac{\sqrt{b}+2a \sqrt[4]{a^2 b}+a^3}{a\sqrt{a}+\sqrt[4]{b}}$$

Шаг 1. Обозначим:

Пусть:

• $x = \sqrt[4]{b} \Rightarrow x^2 = \sqrt{b}$
• $y = \sqrt{a} \Rightarrow a = y^2 \Rightarrow a^3 = y^6$

Тогда:

• $\sqrt[4]{a^2 b} = \sqrt[4]{a^2} \cdot \sqrt[4]{b} = a^{1/2} \cdot x = y \cdot x$

Числитель:

$$x^2 + 2a \cdot y \cdot x + a^3 = x^2 + 2ayx + a^3$$

Знаменатель:

$$a y + x$$

Шаг 2. Заметим, что числитель — это квадрат суммы:

$$(x + ay)^2 = x^2 + 2ayx + a^2 y^2 = x^2 + 2ayx + a^3$$

Так как $y = \sqrt{a} \Rightarrow y^2 = a \Rightarrow a^2 y^2 = a^2 \cdot a = a^3$

Подходит.

Шаг 3. Дробь:

$$\frac{(x + ay)^2}{ay + x} = x + ay$$

Шаг 4. Возвращаемся к исходным:

• $x = \sqrt[4]{b}$
• $y = \sqrt{a}$
• $ay = a \cdot \sqrt{a} = a\sqrt{a}$

$$\boxed{a\sqrt{a} + \sqrt[4]{b}}$$

Ответ:

$$a\sqrt{a} + \sqrt[4]{b}$$

Окончательные ответы:

а) $\boxed{\sqrt[4]{a} — \sqrt[3]{b}}$
б) $\boxed{\frac{1}{\sqrt[3]{m} + 2\sqrt[3]{n}}}$
в) $\boxed{\frac{1}{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}}$
г) $\boxed{a\sqrt{a} + \sqrt[4]{b}}$