ГДЗ 10-11 Класс Номер 36.19 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а)

$$\frac{\sqrt{a}-\sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[4]{a}-\sqrt[3]{b}}=\frac{(\sqrt[4]{a}-\sqrt[3]{b})(\sqrt[4]{a}+\sqrt[3]{b})}{\sqrt[4]{a}-\sqrt[3]{b}}=\sqrt[4]{a}+\sqrt[3]{b};$$

б)

$$\frac{\sqrt[5]{x^9}-1}{\sqrt[5]{x^3}-1}=\frac{(\sqrt[5]{x^3}-1)(\sqrt[5]{x^6}+\sqrt[5]{x^3}+1)}{\sqrt[5]{x^3}-1}=x\sqrt[5]{x}+\sqrt[5]{x^3}+1;$$

в)

$$\frac{\sqrt{b}-a^3}{a\sqrt{a}+\sqrt[4]{b}}=\frac{(\sqrt{b}-a\sqrt{a})(\sqrt{b}+a\sqrt{a})}{a\sqrt{a}+\sqrt[4]{b}}=\sqrt[4]{b}-a\sqrt{a};$$

г)

$$\frac{\sqrt{a}-b\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b^3}}$$

Сократить дробь, считая, что переменные принимают неотрицательные значения:

а)

$$\frac{\sqrt{a}-\sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[4]{a}-\sqrt[3]{b}}=\frac{(\sqrt[4]{a}-\sqrt[3]{b})(\sqrt[4]{a}+\sqrt[3]{b})}{\sqrt[4]{a}-\sqrt[3]{b}}=\sqrt[4]{a}+\sqrt[3]{b};$$

б)

$$\frac{\sqrt[5]{x^9}-1}{\sqrt[5]{x^3}-1}=\frac{(\sqrt[5]{x^3}-1)(\sqrt[5]{x^6}+\sqrt[5]{x^3}+1)}{\sqrt[5]{x^3}-1}=x\sqrt[5]{x}+\sqrt[5]{x^3}+1;$$

в)

$$\frac{\sqrt{b}-a^3}{a\sqrt{a}+\sqrt[4]{b}}=\frac{(\sqrt{b}-a\sqrt{a})(\sqrt{b}+a\sqrt{a})}{a\sqrt{a}+\sqrt[4]{b}}=\sqrt[4]{b}-a\sqrt{a};$$

г)

$$\frac{\sqrt{a}-b\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b^3}}=\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b^3})(\sqrt[3]{a}+\sqrt[6]{a}\cdot\sqrt{b}+b)}{(\sqrt{a}-\sqrt{b^3})(\sqrt[3]{a}+\sqrt[6]{a}\cdot\sqrt{b}+b)}=$$ $$=\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b^3})(\sqrt[3]{a}+\sqrt[6]{ab^3}+b)}{\sqrt{a}-\sqrt{b^3}}=\sqrt[3]{a}+\sqrt[6]{ab^3}+b.$$

а)

$$\frac{\sqrt{a} — \sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[4]{a} — \sqrt[3]{b}}$$

Шаг 1. Обозначим переменные:

• $x = \sqrt[4]{a} \Rightarrow x^2 = \sqrt{a}$
• $y = \sqrt[3]{b} \Rightarrow y^2 = \sqrt[3]{b^2}$

Подставим:

$$\frac{x^2 — y^2}{x — y}$$

Шаг 2. Используем формулу разности квадратов:

$$x^2 — y^2 = (x — y)(x + y)$$

Шаг 3. Сократим:

$$\frac{(x — y)(x + y)}{x — y} = x + y$$

Шаг 4. Подставим обратно:

$$x = \sqrt[4]{a},\quad y = \sqrt[3]{b} \Rightarrow \sqrt[4]{a} + \sqrt[3]{b}$$

Ответ:

$$\boxed{\sqrt[4]{a} + \sqrt[3]{b}}$$

б)

$$\frac{\sqrt[5]{x^9} — 1}{\sqrt[5]{x^3} — 1}$$

Шаг 1. Обозначим:

• $a = \sqrt[5]{x^3} \Rightarrow a^3 = \sqrt[5]{x^9}$

Подставим:

$$\frac{a^3 — 1}{a — 1}$$

Шаг 2. Используем формулу разности кубов:

$$a^3 — 1 = (a — 1)(a^2 + a + 1)$$

Шаг 3. Сократим:

$$\frac{(a — 1)(a^2 + a + 1)}{a — 1} = a^2 + a + 1$$

Шаг 4. Подставим обратно:

• $a = \sqrt[5]{x^3}$
• $a^2 = \sqrt[5]{x^6} = x \cdot \sqrt[5]{x}$

Итог:

$$x \sqrt[5]{x} + \sqrt[5]{x^3} + 1$$

Ответ:

$$\boxed{x \sqrt[5]{x} + \sqrt[5]{x^3} + 1}$$

в)

$$\frac{\sqrt{b} — a^3}{a \sqrt{a} + \sqrt[4]{b}}$$

Шаг 1. Заметим:

• $a^3 = a \cdot a^2 = a \cdot \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a \sqrt{a} \cdot \sqrt{a}$
• Попробуем представить числитель как разность квадратов:

  $$\sqrt{b} — a^3 = (\sqrt{b} — a \sqrt{a})(\sqrt{b} + a \sqrt{a})$$

Шаг 2. Перепишем дробь:

$$\frac{(\sqrt{b} — a \sqrt{a})(\sqrt{b} + a \sqrt{a})}{a \sqrt{a} + \sqrt[4]{b}}$$

После сокращения:

$$\sqrt[4]{b} — a \sqrt{a}$$

Ответ:

$$\boxed{\sqrt[4]{b} — a \sqrt{a}}$$

г)

$$\frac{\sqrt{a} — b \sqrt{b}}{\sqrt{a} — \sqrt{b^3}}$$

Шаг 1. Заметим, что $b \sqrt{b} = \sqrt{b^3}$

Поскольку:

$$b \cdot \sqrt{b} = \sqrt{b^2} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{b^3}$$

Значит:

$$\frac{\sqrt{a} — \sqrt{b^3}}{\sqrt{a} — \sqrt{b^3}} = 1$$

Однако в решении применяется разложение по формуле разности кубов.

Шаг 2. Представим $\sqrt{a}$ и $\sqrt{b^3}$ как кубы:

• $\sqrt{a} = (\sqrt[6]{a})^3$
• $\sqrt{b^3} = (\sqrt{b})^3$

Шаг 3. Применим формулу разности кубов:

$$p^3 — q^3 = (p — q)(p^2 + pq + q^2)$$

Где:

• $p = \sqrt[6]{a}$
• $q = \sqrt{b}$

Тогда:

$$\sqrt{a} — \sqrt{b^3} = (\sqrt[6]{a} — \sqrt{b})(\sqrt[3]{a} + \sqrt[6]{a} \cdot \sqrt{b} + b)$$

Шаг 4. Подставим в дробь и сократим:

$$\frac{(\sqrt[6]{a} — \sqrt{b})(\sqrt[3]{a} + \sqrt[6]{a} \cdot \sqrt{b} + b)}{\sqrt[6]{a} — \sqrt{b}} = \sqrt[3]{a} + \sqrt[6]{a} \cdot \sqrt{b} + b$$

Можно записать:

$$\sqrt[3]{a} + \sqrt[6]{a b^3} + b$$

Ответ:

$$\boxed{\sqrt[3]{a} + \sqrt[6]{a b^3} + b}$$

Итоговые ответы:

а) $\boxed{\sqrt[4]{a} + \sqrt[3]{b}}$
б) $\boxed{x \sqrt[5]{x} + \sqrt[5]{x^3} + 1}$
в) $\boxed{\sqrt[4]{b} — a \sqrt{a}}$
г) $\boxed{\sqrt[3]{a} + \sqrt[6]{a b^3} + b}$