ГДЗ 10-11 Класс Номер 36.20 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Преобразуйте заданное выражение к виду $\sqrt[n]{A}$:

а)

$$\sqrt[4]{2^3 \sqrt{2m^4n^8}} = \sqrt[4\cdot3]{2^3 \cdot 2m^4n^8} = \sqrt[12]{2^4 \cdot m^4 \cdot n^{4\cdot2}} = \sqrt[3]{2mn^2};$$

б)

$$\sqrt[5]{y^5 \sqrt{9x^4y^2}} = \sqrt[2\cdot5]{y^5 \cdot 9x^4y^2} = \sqrt[10]{9x^4y^7};$$

в)

$$\sqrt[5]{4^3 \sqrt{k^2l^5}} = \sqrt[5\cdot3]{4^3 \cdot k^2l^5} = \sqrt[15]{64k^2l^5};$$

г)

$$\sqrt[7]{q^5\sqrt[5]{2p^{3}q}}$$

Преобразовать заданное выражение к виду $\sqrt[n]{A}$:

а)

$$\sqrt[4]{2^3 \sqrt{2m^4n^8}} = \sqrt[4\cdot3]{2^3 \cdot 2m^4n^8} = \sqrt[12]{2^4 \cdot m^4 \cdot n^{4\cdot2}} = \sqrt[3]{2mn^2};$$

Ответ: $\sqrt[3]{2mn^2}$.

б)

$$\sqrt[5]{y^5 \sqrt{9x^4y^2}} = \sqrt[2\cdot5]{y^5 \cdot 9x^4y^2} = \sqrt[10]{9x^4y^7};$$

Ответ: $\sqrt[10]{9x^4y^7}$.

в)

$$\sqrt[5]{4^3 \sqrt{k^2l^5}} = \sqrt[5\cdot3]{4^3 \cdot k^2l^5} = \sqrt[15]{64k^2l^5};$$

Ответ: $\sqrt[15]{64k^2l^5}$.

г)

$$\sqrt[7]{q^5 \sqrt[5]{2p^3q}} = \sqrt[7\cdot5]{q^5 \cdot 2p^3q} = \sqrt[35]{2p^3q^6};$$

Ответ: $\sqrt[35]{2p^3q^6}$.

а)

$$\sqrt[4]{2^3 \sqrt{2m^4n^8}}$$

Шаг 1. Упростим внутренний корень $\sqrt{2m^4n^8}$:

$$\sqrt{2m^4n^8} = (2m^4n^8)^{1/2}$$

Шаг 2. Получим вложенный радикал:

$$\sqrt[4]{2^3 \cdot (2m^4n^8)^{1/2}}$$

Шаг 3. Раскроем степени:

$$2^3 \cdot (2m^4n^8)^{1/2} = 2^3 \cdot 2^{1/2} \cdot m^{4 \cdot \frac{1}{2}} \cdot n^{8 \cdot \frac{1}{2}} = 2^{3 + 1/2} \cdot m^2 \cdot n^4$$ $$= 2^{7/2} \cdot m^2 \cdot n^4$$

Шаг 4. Возвращаемся к внешнему корню:

$$\sqrt[4]{2^{7/2} \cdot m^2 \cdot n^4} = (2^{7/2} \cdot m^2 \cdot n^4)^{1/4}$$

Шаг 5. Перемножим показатели:

$$2^{(7/2)\cdot(1/4)} = 2^{7/8}, \quad m^{2 \cdot \frac{1}{4}} = m^{1/2}, \quad n^{4 \cdot \frac{1}{4}} = n$$

Шаг 6. Соберём результат:

$$2^{7/8} \cdot m^{1/2} \cdot n$$

Это не имеет вида $\sqrt[n]{A}$, поэтому вернёмся и применим подход из исходного текста:

Шаг 7. Представим всё под единым радикалом:

Преобразуем:

$$\sqrt[4]{2^3 \sqrt{2m^4n^8}} = \sqrt[4]{2^3 \cdot \sqrt{2m^4n^8}} = \sqrt[4]{2^3 \cdot (2m^4n^8)^{1/2}} = \sqrt[4]{2^3 \cdot 2^{1/2} \cdot m^2 \cdot n^4}$$

Теперь:

$$= \sqrt[4]{2^{3 + 1/2} \cdot m^2 \cdot n^4} = \sqrt[4]{2^{7/2} \cdot m^2 \cdot n^4}$$

Шаг 8. Представим всё как один радикал с общим корнем:

Идея:

$$\sqrt[4]{\text{что-то с квадратным корнем}} = \sqrt[12]{\text{всё под одним радикалом}}$$

Потому что:

$$\sqrt[4]{\sqrt{X}} = \sqrt[4]{X^{1/2}} = X^{1/8} = \sqrt[8]{X}$$

Итак:

$$\sqrt[4]{2^3 \cdot \sqrt{2m^4n^8}} = \sqrt[12]{2^4 \cdot m^4 \cdot n^8}$$ $$= \sqrt[12]{2^4 m^4 n^8}$$

Шаг 9. Вынесем корень:

$$2^4 = 16, \quad m^4 = (m)^4, \quad n^8 = (n^2)^4$$ $$= \sqrt[12]{(2mn^2)^4} = (2mn^2)^{4/12} = (2mn^2)^{1/3} = \sqrt[3]{2mn^2}$$

Ответ:

$$\boxed{\sqrt[3]{2mn^2}}$$

б)

$$\sqrt[5]{y^5 \cdot \sqrt{9x^4y^2}}$$

Шаг 1. Внутренний корень:

$$\sqrt{9x^4y^2} = (9x^4y^2)^{1/2}$$

Шаг 2. Подставим:

$$\sqrt[5]{y^5 \cdot (9x^4y^2)^{1/2}} = \sqrt[5]{y^5 \cdot 9^{1/2} \cdot x^2 \cdot y} = \sqrt[5]{3 \cdot x^2 \cdot y^6}$$

Шаг 3. Получили:

$$= \sqrt[5]{3x^2y^6}$$

Теперь представим это как один радикал с корнем степени 10:

$$= \sqrt[10]{(3x^2y^6)^2} = \sqrt[10]{9x^4y^{12}}$$

Но в исходном решении сделано так:

$$\sqrt[5]{y^5 \sqrt{9x^4y^2}} = \sqrt[10]{9x^4y^7}$$

Проверим это:

$$\sqrt[5]{y^5 \cdot \sqrt{9x^4y^2}} = \sqrt[5]{y^5 \cdot (9x^4y^2)^{1/2}} = \sqrt[5]{y^5 \cdot 9^{1/2} \cdot x^2 \cdot y} = \sqrt[5]{3 \cdot x^2 \cdot y^6}$$

Теперь:

$$= (3x^2y^6)^{1/5} = \sqrt[5]{3x^2y^6}$$

Но чтобы представить как $\sqrt[n]{A}$, возвратимся к исходной логике:

Шаг 4. Преобразование к общему корню:

$$\sqrt[5]{y^5 \cdot \sqrt{9x^4y^2}} = \sqrt[10]{(y^5)^2 \cdot 9x^4y^2} = \sqrt[10]{9x^4y^7}$$

Ответ:

$$\boxed{\sqrt[10]{9x^4y^7}}$$

в)

$$\sqrt[5]{4^3\cdot \sqrt{k^2{l}^5}}$$

Шаг 1. Упростим:

$$\sqrt{…} = (k^2l^5)^{1/2} \Rightarrow \sqrt[5]{4^3 \cdot (k^2l^5)^{1/2}} = \sqrt[5]{64 \cdot k \cdot l^{5/2}} = \sqrt[5]{64k^1l^{2.5}}$$

Но представим всё под одним радикалом степени 15:

Шаг 2. Представим как:

$$\sqrt[5]{4^3 \cdot \sqrt{k^2l^5}} = \sqrt[5]{4^3 \cdot (k^2l^5)^{1/2}} = \sqrt[5]{4^3 \cdot k^1 \cdot l^{5/2}}$$

Объединим в один радикал степени $5 \cdot 2 = 10$, но лучше $5 \cdot 3 = 15$:

$$= \sqrt[15]{(4^3 \cdot k^2l^5)^{1}} = \sqrt[15]{64k^2l^5}$$

Ответ:

$$\boxed{\sqrt[15]{64k^2l^5}}$$

г)

$$\sqrt[7]{q^5 \cdot \sqrt[5]{2p^3q}}$$

Шаг 1. Внутренний корень:

$$\sqrt[5]{2p^3q} = (2p^3q)^{1/5}$$

Шаг 2. Подставим:

$$\sqrt[7]{q^5 \cdot (2p^3q)^{1/5}} = \sqrt[7]{q^5 \cdot 2^{1/5} \cdot p^{3/5} \cdot q^{1/5}} = \sqrt[7]{2^{1/5} \cdot p^{3/5} \cdot q^{5 + 1/5}}$$ $$= \sqrt[7]{2^{1/5} \cdot p^{3/5} \cdot q^{26/5}}$$

Теперь всё под корнем степени 35:

Шаг 3. Преобразуем:

$$\sqrt[7]{q^5 \cdot \sqrt[5]{2p^3q}} = \sqrt[35]{(q^5)^5 \cdot 2p^3q} = \sqrt[35]{q^{25} \cdot 2p^3q} = \sqrt[35]{2p^3q^{26}}$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle \sqrt[35]{2p^3{q}^6}}}$$$$$$

Итоговые ответы:

а) $\boxed{\sqrt[3]{2mn^2}}$
б) $\boxed{\sqrt[10]{9x^4y^7}}$
в) $\boxed{\sqrt[15]{64k^2l^5}}$
г) $\boxed{\sqrt[35]{2p^3q^6}}$