ГДЗ 10-11 Класс Номер 36.22 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Сравните числа:

а) $-\sqrt[5]{2\sqrt{10}}$и $-\sqrt[4]{\sqrt[3]{99}}$;

б) $\sqrt{2\sqrt[3]{3}}$ и $\sqrt[3]{5}$;

в) $\sqrt[4]{3}$ и $\sqrt[8]{6\sqrt{2}}$;

г) $-\sqrt{2\sqrt[3]{6}}$ и $-\sqrt[3]{5\sqrt{2}}$

Сравнить числа:

а) $-\sqrt[5]{2\sqrt{10}}$ и $-\sqrt[4]{\sqrt[3]{99}}$;

$$-\sqrt[5]{2\sqrt{10}}=-\sqrt[5\cdot 4]{(2\sqrt{10}{)}^4}=-\sqrt[20]{(2\sqrt{10}{)}^4}=-\sqrt[20]{(2^2\cdot 10{)}^2}=$$

$$=-\sqrt[20]{(4\cdot 10{)}^2}=-\sqrt[20]{16\cdot 10}=-\text{exception 25:}$$

$$\text{exception 25:}$$$$-\sqrt[4]{\sqrt[3]{99}}=-\sqrt[4\cdot 3]{99}=-\sqrt[12]{99}$$

Ответ: $-\sqrt[5]{2\sqrt{10}}<-\sqrt[4]{\sqrt[3]{99}}$.

б) $\sqrt{2\sqrt[3]{3}}$ и $\sqrt[3]{5}$;

$$\sqrt{2\sqrt[3]{3}}=\sqrt{2\cdot 3^{1\mathrm{/}3}}=(2\cdot 3^{1\mathrm{/}3}{)}^{1\mathrm{/}2}=2^{1\mathrm{/}2}\cdot 3^{1\mathrm{/}6}=\sqrt[6]{2^3\cdot 3}=\sqrt[6]{8\cdot 3}=\sqrt[6]{24}$$

$$\sqrt[3]{5}=5^{1\mathrm{/}3}=\sqrt[6]{5^2}=\sqrt[6]{25}$$

Ответ: $\sqrt{2\sqrt[3]{3}}<\sqrt[3]{5}$.

в) $\sqrt[4]{3}$ и $\sqrt[8]{6\sqrt{2}}$;

$$\sqrt[4]{3}=3^{1\mathrm{/}4}=\sqrt[4\cdot 4]{3^4}=\sqrt[16]{81}$$

$$\sqrt[8]{6\sqrt{2}}=(6\sqrt{2}{)}^{1\mathrm{/}8}=\sqrt[8\cdot 2]{(6\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt[16]{(6\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt[16]{36\cdot 2}=\sqrt[16]{72}$$

Ответ: $\sqrt[4]{3}>\sqrt[8]{6\sqrt{2}}$.

г) $-\sqrt{2\sqrt[3]{6}}$ и $-\sqrt[3]{5\sqrt{2}}$;

$$-\sqrt{2\sqrt[3]{6}}=-\sqrt[2\cdot 3]{(2\sqrt[3]{6}{)}^3}=-\sqrt[6]{(2\sqrt[3]{6}{)}^3}=-\sqrt[6]{8\cdot 6}=-\sqrt[6]{48}$$

$$-\sqrt[3]{5\sqrt{2}}=-\sqrt[3]{5\cdot 2^{1\mathrm{/}2}}=-(5\cdot 2^{1\mathrm{/}2}{)}^{1\mathrm{/}3}=-\sqrt[3\cdot 2]{(5\cdot 2^{1\mathrm{/}2}{)}^2}=-\sqrt[6]{25\cdot 2}=-\sqrt[6]{50}$$

Ответ: $-\sqrt{2\sqrt[3]{6}}>-\sqrt[3]{5\sqrt{2}}$.

а) $-\sqrt[5]{2\sqrt{10}}$ и $-\sqrt[4]{\sqrt[3]{99}}$

Нам нужно сравнить два выражения, содержащие радикалы разной степени. Для этого мы постараемся привести оба выражения к одинаковому виду.

Шаг 1: Преобразование первого выражения

Рассмотрим выражение $-\sqrt[5]{2\sqrt{10}}$.

$$-\sqrt[5]{2\sqrt{10}}=-\sqrt[5]{2\cdot {10}^{1\mathrm{/}2}}$$

Теперь представим число $2\sqrt{10}$ в виде произведения: $2\cdot {10}^{1\mathrm{/}2}$. Теперь применим свойства степеней и корней, чтобы привести выражение к более удобному виду.

$$-\sqrt[5]{2\sqrt{10}}=-\sqrt[5\cdot 4]{(2\sqrt{10}{)}^4}$$

Это эквивалентно:

$$-\sqrt[20]{(2\sqrt{10}{)}^4}$$

Теперь вычислим, что находится внутри 20-го корня. Для этого возведем $2\sqrt{10}$ в степень 4:

$$(2\sqrt{10}{)}^4=(2^2\cdot 10{)}^2=(4\cdot 10{)}^2={160}^2=160$$

Итак, мы получаем:

$$-\sqrt[20]{160}$$

Теперь это выражение $-\sqrt[20]{160}$ является более простым видом первого выражения.

Шаг 2: Преобразование второго выражения

Теперь давайте рассмотрим выражение $-\sqrt[4]{\sqrt[3]{99}}$.

$$-\sqrt[4]{\sqrt[3]{99}}=-\sqrt[4\cdot 3]{99}=-\sqrt[12]{99}$$

Это просто преобразование выражения под корнем с использованием правил степеней и корней.

Шаг 3: Сравнение выражений

Теперь мы имеем два выражения:

$-\sqrt[20]{160}$

$-\sqrt[12]{99}$

Мы видим, что оба выражения имеют отрицательные знаки, но с разными степенями корня. Чтобы сравнить их, нам нужно либо вычислить численные значения этих корней, либо оценить их по порядку величины.

Известно, что для более высоких корней (например, $\sqrt[20]{160}$) результат будет меньше, чем для меньших корней, таких как $\sqrt[12]{99}$. Это объясняется тем, что значение корня уменьшается с увеличением степени. Таким образом, $-\sqrt[20]{160}$ меньше $-\sqrt[12]{99}$, поскольку ${160}^{1\mathrm{/}20}$ меньше, чем ${99}^{1\mathrm{/}12}$.

Ответ:

$$-\sqrt[5]{2\sqrt{10}}<-\sqrt[4]{\sqrt[3]{99}}$$

б) $\sqrt{2\sqrt[3]{3}}$ и $\sqrt[3]{5}$

Шаг 1: Преобразование первого выражения

Рассмотрим выражение $\sqrt{2\sqrt[3]{3}}$.

$$\sqrt{2\sqrt[3]{3}}=\sqrt{2\cdot 3^{1\mathrm{/}3}}$$

Далее мы можем применить правило степеней, которое позволяет выразить корень как степень:

$$\sqrt{2\cdot 3^{1\mathrm{/}3}}=(2\cdot 3^{1\mathrm{/}3}{)}^{1\mathrm{/}2}=2^{1\mathrm{/}2}\cdot 3^{1\mathrm{/}6}$$

Итак, получаем:

$$\sqrt{2\sqrt[3]{3}}=2^{1\mathrm{/}2}\cdot 3^{1\mathrm{/}6}$$

Теперь выразим это в виде шестого корня:

$$\sqrt{2\sqrt[3]{3}}=\sqrt[6]{2^3\cdot 3}=\sqrt[6]{8\cdot 3}=\sqrt[6]{24}$$

Шаг 2: Преобразование второго выражения

Теперь рассмотрим выражение $\sqrt[3]{5}$.

$$\sqrt[3]{5}=5^{1\mathrm{/}3}=\sqrt[6]{5^2}=\sqrt[6]{25}$$

Шаг 3: Сравнение выражений

Теперь у нас два выражения:

$\sqrt[6]{24}$

$\sqrt[6]{25}$

Поскольку $24<25$, то $\sqrt[6]{24}<\sqrt[6]{25}$, следовательно:

$$\sqrt{2\sqrt[3]{3}}<\sqrt[3]{5}$$

Ответ:

$$\sqrt{2\sqrt[3]{3}}<\sqrt[3]{5}$$

в) $\sqrt[4]{3}$ и $\sqrt[8]{6\sqrt{2}}$

Шаг 1: Преобразование первого выражения

Рассмотрим выражение $\sqrt[4]{3}$.

$$\sqrt[4]{3}=3^{1\mathrm{/}4}$$

Это просто 4-й корень из 3.

Шаг 2: Преобразование второго выражения

Теперь рассмотрим выражение $\sqrt[8]{6\sqrt{2}}$.

$$\sqrt[8]{6\sqrt{2}}=(6\sqrt{2}{)}^{1\mathrm{/}8}=\sqrt[8\cdot 2]{(6\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt[16]{(6\sqrt{2}{)}^2}$$

Теперь вычислим квадрат выражения $6\sqrt{2}$:

$$(6\sqrt{2}{)}^2=36\cdot 2=72$$

Итак, получаем:

$$\sqrt[8]{6\sqrt{2}}=\sqrt[16]{72}$$

Шаг 3: Сравнение выражений

Теперь у нас два выражения:

$\sqrt[16]{81}$

$\sqrt[16]{72}$

Очевидно, что $81>72$, поэтому:

$$\sqrt[4]{3}>\sqrt[8]{6\sqrt{2}}$$

Ответ:

$$\sqrt[4]{3}>\sqrt[8]{6\sqrt{2}}$$

г) $-\sqrt{2\sqrt[3]{6}}$ и $-\sqrt[3]{5\sqrt{2}}$

Шаг 1: Преобразование первого выражения

Рассмотрим выражение $-\sqrt{2\sqrt[3]{6}}$.

$$-\sqrt{2\sqrt[3]{6}}=-\sqrt{2\cdot 6^{1\mathrm{/}3}}=-(2\cdot 6^{1\mathrm{/}3}{)}^{1\mathrm{/}2}$$

Теперь применим правило степеней:

$$-(2\cdot 6^{1\mathrm{/}3}{)}^{1\mathrm{/}2}=-\sqrt[2\cdot 3]{(2\cdot 6{)}^3}=-\sqrt[6]{(2\cdot 6{)}^3}=-\sqrt[6]{(12{)}^3}=-\sqrt[6]{1728}$$

Шаг 2: Преобразование второго выражения

Теперь рассмотрим выражение $-\sqrt[3]{5\sqrt{2}}$.

$$-\sqrt[3]{5\sqrt{2}}=-\sqrt[3]{5\cdot 2^{1\mathrm{/}2}}=-(5\cdot 2^{1\mathrm{/}2}{)}^{1\mathrm{/}3}$$

Используем правило степеней:

$$-(5\cdot 2^{1\mathrm{/}2}{)}^{1\mathrm{/}3}=-\sqrt[3\cdot 2]{(5\cdot 2^{1\mathrm{/}2}{)}^2}=-\sqrt[6]{25\cdot 2}=-\sqrt[6]{50}$$

Шаг 3: Сравнение выражений

Теперь у нас два выражения:

$-\sqrt[6]{1728}$

$-\sqrt[6]{50}$

Так как $1728>50$, то $\sqrt[6]{1728}>\sqrt[6]{50}$, следовательно:

$$-\sqrt[6]{1728}<-\sqrt[6]{50}$$

Ответ: