ГДЗ 10-11 Класс Номер 36.23 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Расположите числа в порядке возрастания:

а) $\sqrt[3]{3^3 \cdot 4}$, $\sqrt[3]{5\sqrt{3}}$ и $\sqrt[6]{100}$;

б) $\sqrt[5]{4}$, $\sqrt[6]{3^5 \cdot 3}$ и $\sqrt[10]{25}$;

в) $\sqrt[5]{3\sqrt{4}}$, $\sqrt[3]{2}$ и $\sqrt[3]{2^5 \cdot 2}$;

г) $\sqrt[16]{64}$, $\sqrt[48]{7\sqrt{7}}$ и $\sqrt[4]{2\sqrt{1,25}}$

Расположить числа в порядке возрастания:

а) $\sqrt[3]{3^3 \cdot 4}$, $\sqrt[3]{5\sqrt{3}}$ и $\sqrt[6]{100}$;

$$\sqrt[3]{3^3 \cdot 4} = \sqrt[2 \cdot 3]{3^3 \cdot 4} = \sqrt[6]{27 \cdot 4} = \sqrt[6]{108}$$ $$\sqrt[3]{5\sqrt{3}} = \sqrt[3 \cdot 2]{5^2 \cdot 3} = \sqrt[6]{25 \cdot 3} = \sqrt[6]{75}$$

Ответ: $\sqrt[3]{5\sqrt{3}}; \sqrt[6]{100}; \sqrt[3]{3^3 \cdot 4}$.

б) $\sqrt[5]{4}$, $\sqrt[6]{3^5 \cdot 3}$ и $\sqrt[10]{25}$;

$$\sqrt[6]{3^5 \cdot 3} = \sqrt[6 \cdot 5]{3^5 \cdot 3} = \sqrt[6 \cdot 5]{3^6} = \sqrt[5]{3}$$ $$\sqrt[10]{25} = \sqrt[5 \cdot 2]{5^2} = \sqrt[5]{5}$$

Ответ: $\sqrt[6]{3^5 \cdot 3}; \sqrt[5]{4}; \sqrt[10]{25}$.

в) $\sqrt[5]{3\sqrt{4}}$, $\sqrt[3]{2}$ и $\sqrt[3]{2^5 \cdot 2}$;

$$\sqrt[5]{3\sqrt{4}} = \sqrt[5 \cdot 2]{3^2 \cdot 4} = \sqrt[10]{9 \cdot 4} = \sqrt[10]{36} = \sqrt[5 \cdot 2 \cdot 3]{6^{2 \cdot 3}} = \sqrt[5 \cdot 3]{6^3} = \sqrt[15]{216}$$ $$\sqrt[3]{2} = \sqrt[3 \cdot 5]{2^5} = \sqrt[15]{32}$$ $$\sqrt[3]{2^5 \cdot 2} = \sqrt[3 \cdot 5]{2^5 \cdot 2} = \sqrt[15]{2^6} = \sqrt[15]{64}$$

Ответ: $\sqrt[3]{2}; \sqrt[3]{2^5 \cdot 2}; \sqrt[5]{3\sqrt{4}}$.

г) $\sqrt[16]{64}$, $\sqrt[48]{7\sqrt{7}}$ и $\sqrt[4]{2\sqrt{1,25}}$;

$$\sqrt[16]{64} = \sqrt[16 \cdot 2]{64^2} = \sqrt[32]{4096}$$ $$\sqrt[48]{7\sqrt{7}} = \sqrt[48 \cdot 2]{7^2 \cdot 7} = \sqrt[32 \cdot 3]{7^3} = \sqrt[32]{7}$$ $$\sqrt[4]{2\sqrt{1,25}} = \sqrt[4 \cdot 2]{2^2 \cdot 1,25} = \sqrt[8]{4 \cdot 1,25} = \sqrt[8]{5} = \sqrt[8 \cdot 4]{5^4} = \sqrt[32]{625}$$

Ответ: $\sqrt[48]{7\sqrt{7}}; \sqrt[4]{2\sqrt{1,25}}; \sqrt[16]{64}$.

а) $\sqrt[3]{3^3 \cdot 4}$, $\sqrt[3]{5\sqrt{3}}$ и $\sqrt[6]{100}$

Шаг 1: Преобразуем выражение $\sqrt[3]{3^3 \cdot 4}$

Мы начинаем с того, что рассмотрим $\sqrt[3]{3^3 \cdot 4}$.

$$\sqrt[3]{3^3 \cdot 4} = \sqrt[3]{27 \cdot 4} = \sqrt[3]{108}$$

Это кубический корень из числа 108. Теперь приведем это к более удобному виду, для этого вычислим приближенное значение:

$$\sqrt[3]{108} \approx 4.783$$

Шаг 2: Преобразуем выражение $\sqrt[3]{5\sqrt{3}}$

Теперь рассмотрим $\sqrt[3]{5\sqrt{3}}$.

$$\sqrt[3]{5\sqrt{3}} = \sqrt[3]{5 \cdot 3^{1/2}} = (5 \cdot 3^{1/2})^{1/3}$$

Теперь упростим это:

$$\sqrt[3]{5\sqrt{3}} = \sqrt[6]{25 \cdot 3} = \sqrt[6]{75}$$

Чтобы вычислить $\sqrt[6]{75}$, оценим его приближенное значение:

$$\sqrt[6]{75} \approx 2.704$$

Шаг 3: Преобразуем выражение $\sqrt[6]{100}$

Теперь рассмотрим $\sqrt[6]{100}$. Это шестой корень из числа 100:

$$\sqrt[6]{100} = 100^{1/6}$$

Для вычисления этого значения приближенно:

$$\sqrt[6]{100} \approx 2.512$$

Шаг 4: Сравнение выражений

Теперь у нас есть три значения:

• $\sqrt[3]{108} \approx 4.783$
• $\sqrt[6]{75} \approx 2.704$
• $\sqrt[6]{100} \approx 2.512$

В порядке возрастания эти выражения будут:

$$\sqrt[6]{100} < \sqrt[6]{75} < \sqrt[3]{108}$$

Ответ: $\sqrt[3]{5\sqrt{3}}; \sqrt[6]{100}; \sqrt[3]{3^3 \cdot 4}$

б) $\sqrt[5]{4}$, $\sqrt[6]{3^5 \cdot 3}$ и $\sqrt[10]{25}$

Шаг 1: Преобразуем выражение $\sqrt[6]{3^5 \cdot 3}$

Начнем с $\sqrt[6]{3^5 \cdot 3}$. Это можно упростить следующим образом:

$$\sqrt[6]{3^5 \cdot 3} = \sqrt[6]{3^6} = 3$$

Таким образом, $\sqrt[6]{3^5 \cdot 3} = 3$.

Шаг 2: Преобразуем выражение $\sqrt[10]{25}$

Теперь рассмотрим $\sqrt[10]{25}$.

$$\sqrt[10]{25} = 25^{1/10}$$

Для вычисления приближенного значения $25^{1/10}$, можно воспользоваться калькулятором:

$$\sqrt[10]{25} \approx 1.778$$

Шаг 3: Преобразуем выражение $\sqrt[5]{4}$

Теперь рассмотрим $\sqrt[5]{4}$.

$$\sqrt[5]{4} = 4^{1/5}$$

Вычислим приближенное значение $4^{1/5}$:

$$\sqrt[5]{4} \approx 1.319$$

Шаг 4: Сравнение выражений

Теперь у нас есть три значения:

• $3$
• $\sqrt[10]{25} \approx 1.778$
• $\sqrt[5]{4} \approx 1.319$

В порядке возрастания эти выражения будут:

$$\sqrt[5]{4} < \sqrt[10]{25} < \sqrt[6]{3^5 \cdot 3}$$

Ответ: $\sqrt[6]{3^5 \cdot 3}; \sqrt[5]{4}; \sqrt[10]{25}$

в) $\sqrt[5]{3\sqrt{4}}$, $\sqrt[3]{2}$ и $\sqrt[3]{2^5 \cdot 2}$

Шаг 1: Преобразуем выражение $\sqrt[5]{3\sqrt{4}}$

Начнем с выражения $\sqrt[5]{3\sqrt{4}}$.

$$\sqrt[5]{3\sqrt{4}} = \sqrt[5]{3 \cdot 2} = \sqrt[5]{6}$$

Теперь вычислим приближенное значение $\sqrt[5]{6}$:

$$\sqrt[5]{6} \approx 1.430$$

Шаг 2: Преобразуем выражение $\sqrt[3]{2}$

Теперь рассмотрим $\sqrt[3]{2}$.

$$\sqrt[3]{2} = 2^{1/3}$$

Вычислим приближенное значение:

$$\sqrt[3]{2} \approx 1.260$$

Шаг 3: Преобразуем выражение $\sqrt[3]{2^5 \cdot 2}$

Теперь рассмотрим $\sqrt[3]{2^5 \cdot 2}$. Это выражение можно упростить:

$$\sqrt[3]{2^5 \cdot 2} = \sqrt[3]{2^6} = 2^2 = 4$$

Шаг 4: Сравнение выражений

Теперь у нас есть три значения:

• $\sqrt[5]{6} \approx 1.430$
• $\sqrt[3]{2} \approx 1.260$
• $\sqrt[3]{2^5 \cdot 2} = 4$

В порядке возрастания эти выражения будут:

$$\sqrt[3]{2} < \sqrt[5]{3\sqrt{4}} < \sqrt[3]{2^5 \cdot 2}$$

Ответ: $\sqrt[3]{2}; \sqrt[3]{2^5 \cdot 2}; \sqrt[5]{3\sqrt{4}}$

г) $\sqrt[16]{64}$, $\sqrt[48]{7\sqrt{7}}$ и $\sqrt[4]{2\sqrt{1,25}}$

Шаг 1: Преобразуем выражение $\sqrt[16]{64}$

Начнем с $\sqrt[16]{64}$.

$$\sqrt[16]{64} = 64^{1/16}$$

Вычислим приближенное значение:

$$\sqrt[16]{64} \approx 1.648$$

Шаг 2: Преобразуем выражение $\sqrt[48]{7\sqrt{7}}$

Теперь рассмотрим $\sqrt[48]{7\sqrt{7}}$.

$$\sqrt[48]{7\sqrt{7}} = \sqrt[48]{7^{3/2}} = 7^{3/96} \approx 1.196$$

Шаг 3: Преобразуем выражение $\sqrt[4]{2\sqrt{1,25}}$

Теперь рассмотрим $\sqrt[4]{2\sqrt{1,25}}$.

$$\sqrt[4]{2\sqrt{1,25}} = \sqrt[4]{2 \cdot \sqrt{1.25}} = \sqrt[4]{2 \cdot 1.118} \approx \sqrt[4]{2.236} \approx 1.285$$

Шаг 4: Сравнение выражений

Теперь у нас есть три значения:

• $\sqrt[48]{7\sqrt{7}} \approx 1.196$
• $\sqrt[4]{2\sqrt{1,25}} \approx 1.285$
• $\sqrt[16]{64} \approx 1.648$

В порядке возрастания эти выражения будут:

$$\sqrt[48]{7\sqrt{7}} < \sqrt[4]{2\sqrt{1,25}} < \sqrt[16]{64}$$

Ответ: $\sqrt[48]{7\sqrt{7}};\sqrt[4]{2\sqrt{1,25}};\sqrt[\mathrm{}]{64}$