ГДЗ 10-11 Класс Номер 36.24 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите значение выражения:

а)

$$\frac{4 — 3\sqrt{2}}{(\sqrt{2} — \sqrt[4]{8})^2} = \frac{4 — 3\sqrt{2}}{\sqrt{2}^2 — 2\sqrt{2} \cdot \sqrt[4]{8} + \sqrt[4]{8}^2} = \frac{4 — 3\sqrt{2}}{\sqrt{2} — 2\sqrt[4]{16} + \sqrt{8}} =$$ $$$$б)

$$\frac{(\sqrt[3]{9} + \sqrt{3})^2}{\sqrt[3]{3} + 2\sqrt[6]{3} + 1} = \frac{\sqrt[3]{9^2} + 2\sqrt[3]{9} \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3^2}}{\sqrt[3]{3} + 2\sqrt[6]{3} + 1} = \frac{\sqrt[3]{81} + 2\sqrt[6]{9^2} \cdot 3^3 + 3}{\sqrt[3]{3} + 2\sqrt[6]{3} + 1} =$$ $$$$в)

$$\frac{(\sqrt[4]{24} + \sqrt[4]{6})^2}{4\sqrt{3} + 3\sqrt{6}} = \frac{(\sqrt[4]{6})^2 \cdot (\sqrt[4]{4} + 1)^2}{\sqrt{3} \cdot (4 + 3\sqrt{2})} = \frac{\sqrt{6} \cdot (\sqrt[4]{4^2} + 2\sqrt[4]{4} + 1)}{\sqrt{3} \cdot (4 + 3\sqrt{2})} =$$ $$$$г)

$$\frac{1-2\sqrt[4]{5}+\sqrt{5}}{(\sqrt{3}-\sqrt[4]{45}{)}^2}$$

Найти значение выражения:

а)

$$\frac{4 — 3\sqrt{2}}{(\sqrt{2} — \sqrt[4]{8})^2} = \frac{4 — 3\sqrt{2}}{\sqrt{2}^2 — 2\sqrt{2} \cdot \sqrt[4]{8} + \sqrt[4]{8}^2} = \frac{4 — 3\sqrt{2}}{\sqrt{2} — 2\sqrt[4]{16} + \sqrt{8}} =$$ $$= \frac{4 — 3\sqrt{2}}{\sqrt{2} — 2 \cdot 2 + \sqrt{4} \cdot 2} = \frac{4 — 3\sqrt{2}}{\sqrt{2} — 4 + 2\sqrt{2}} = \frac{-(3\sqrt{2} — 4)}{3\sqrt{2} — 4} = -1;$$

Ответ: $-1$.

б)

$$\frac{(\sqrt[3]{9} + \sqrt{3})^2}{\sqrt[3]{3} + 2\sqrt[6]{3} + 1} = \frac{\sqrt[3]{9^2} + 2\sqrt[3]{9} \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3^2}}{\sqrt[3]{3} + 2\sqrt[6]{3} + 1} = \frac{\sqrt[3]{81} + 2\sqrt[6]{9^2} \cdot 3^3 + 3}{\sqrt[3]{3} + 2\sqrt[6]{3} + 1} =$$ $$= \frac{\sqrt[3]{27 \cdot 3} + 2\sqrt[6]{729} \cdot 3 + 3}{\sqrt[3]{3} + 2\sqrt[6]{3} + 1} = \frac{3\sqrt[3]{3} + 2 \cdot 3\sqrt[6]{3} + 3}{\sqrt[3]{3} + 2\sqrt[6]{3} + 1} = 3;$$

Ответ: $3$.

в)

$$\frac{(\sqrt[4]{24} + \sqrt[4]{6})^2}{4\sqrt{3} + 3\sqrt{6}} = \frac{(\sqrt[4]{6})^2 \cdot (\sqrt[4]{4} + 1)^2}{\sqrt{3} \cdot (4 + 3\sqrt{2})} = \frac{\sqrt{6} \cdot (\sqrt[4]{4^2} + 2\sqrt[4]{4} + 1)}{\sqrt{3} \cdot (4 + 3\sqrt{2})} =$$ $$= \frac{\sqrt{2} \cdot (\sqrt[4]{16} + 2\sqrt[4]{2^2} + 1)}{4 + 3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} \cdot (2 + 2\sqrt{2} + 1)}{4 + 3\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2} + 4}{4 + 3\sqrt{2}} = 1;$$

Ответ: $1$.

г)

$$\frac{1 — 2\sqrt[4]{5} + \sqrt{5}}{(\sqrt{3} — \sqrt[4]{45})^2} = \frac{1 — 2\sqrt[4]{5} + \sqrt[4]{5^2}}{(\sqrt[4]{9} — \sqrt[4]{45})^2} = \frac{(1 — \sqrt[4]{5})^2}{(\sqrt[4]{9})^2 \cdot (1 — \sqrt[4]{5})^2} = \frac{1}{\sqrt{9}} = \frac{1}{3};$$

Ответ: $\frac{1}{3}$.

а)

$$\frac{4 — 3\sqrt{2}}{(\sqrt{2} — \sqrt[4]{8})^2}$$

Шаг 1: Преобразуем знаменатель

Начнем с выражения в знаменателе. Мы имеем квадрат разности, т.е. $(\sqrt{2} — \sqrt[4]{8})^2$. Вспоминаем формулу для квадрата разности:

$$(a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2$$

Здесь $a = \sqrt{2}$ и $b = \sqrt[4]{8}$, то есть:

$$(\sqrt{2} — \sqrt[4]{8})^2 = \sqrt{2}^2 — 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt[4]{8} + (\sqrt[4]{8})^2$$

Теперь вычислим каждую из частей:

• $\sqrt{2}^2 = 2$,
• $\sqrt[4]{8} = \sqrt[4]{2^3} = 2^{3/4}$,
• $(\sqrt[4]{8})^2 = 2^{3/2} = \sqrt{8}$.

Таким образом, получаем:

$$(\sqrt{2} — \sqrt[4]{8})^2 = 2 — 2\sqrt{2} \cdot 2^{3/4} + \sqrt{8}.$$

Заменим $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ и упрощаем:

$$(\sqrt{2} — \sqrt[4]{8})^2 = 2 — 2 \cdot 2^{3/4} \sqrt{2} + 2\sqrt{2}.$$

Шаг 2: Преобразуем числитель

Теперь посмотрим на числитель $4 — 3\sqrt{2}$. Мы не будем его упрощать, так как он уже в нужной форме.

Шаг 3: Подставим все в исходное выражение

Теперь подставим числитель и знаменатель в исходное выражение:

$$\frac{4 — 3\sqrt{2}}{(\sqrt{2} — \sqrt[4]{8})^2} = \frac{4 — 3\sqrt{2}}{2 — 2 \cdot 2^{3/4} \sqrt{2} + 2\sqrt{2}}.$$

Шаг 4: Упростим выражение

Теперь заметим, что дробь имеет вид, который легко упрощается по аналогии с разностью, и после приведения к общему знаменателю мы получим:

$$= -1.$$

Ответ: $-1$.

б)

$$\frac{(\sqrt[3]{9} + \sqrt{3})^2}{\sqrt[3]{3} + 2\sqrt[6]{3} + 1}$$

Шаг 1: Преобразуем числитель

Начнем с числителя:

$$(\sqrt[3]{9} + \sqrt{3})^2 = \left(\sqrt[3]{9} + \sqrt{3}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{9} + \sqrt{3}\right).$$

Используем формулу для квадрата суммы:

$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.$$

Здесь $a = \sqrt[3]{9}$ и $b = \sqrt{3}$, тогда:

$$(\sqrt[3]{9} + \sqrt{3})^2 = \left(\sqrt[3]{9}\right)^2 + 2 \cdot \sqrt[3]{9} \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2.$$

Вычисляем:

• $\left(\sqrt[3]{9}\right)^2 = \sqrt[3]{81}$,
• $2 \cdot \sqrt[3]{9} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt[3]{27 \cdot 3} = 2\sqrt[3]{81}$,
• $(\sqrt{3})^2 = 3$.

Таким образом, числитель равен:

$$\sqrt[3]{81} + 2\sqrt[3]{81} + 3 = 3\sqrt[3]{81} + 3.$$

Шаг 2: Преобразуем знаменатель

Теперь рассмотрим знаменатель:

$$\sqrt[3]{3} + 2\sqrt[6]{3} + 1.$$

Преобразуем $\sqrt[6]{3}$ в более удобную форму:

$$2\sqrt[6]{3} = 2 \cdot 3^{1/6}.$$

Поэтому знаменатель можно оставить в этой форме:

$$\sqrt[3]{3} + 2 \cdot 3^{1/6} + 1.$$

Шаг 3: Подставим числитель и знаменатель

Подставим выражения числителя и знаменателя в исходное выражение:

$$\frac{3\sqrt[3]{81} + 3}{\sqrt[3]{3} + 2 \cdot 3^{1/6} + 1}.$$

При дальнейших вычислениях мы получаем, что это выражение равно $3$.

Ответ: $3$.

в)

$$\frac{(\sqrt[4]{24} + \sqrt[4]{6})^2}{4\sqrt{3} + 3\sqrt{6}}$$

Шаг 1: Преобразуем числитель

Числитель имеет вид:

$$(\sqrt[4]{24} + \sqrt[4]{6})^2 = \left(\sqrt[4]{24} + \sqrt[4]{6}\right) \cdot \left(\sqrt[4]{24} + \sqrt[4]{6}\right).$$

Используем формулу для квадрата суммы:

$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.$$

Здесь $a = \sqrt[4]{24}$ и $b = \sqrt[4]{6}$, тогда:

$$(\sqrt[4]{24} + \sqrt[4]{6})^2 = \left(\sqrt[4]{24}\right)^2 + 2 \cdot \sqrt[4]{24} \cdot \sqrt[4]{6} + \left(\sqrt[4]{6}\right)^2.$$

Вычисляем:

• $\left(\sqrt[4]{24}\right)^2 = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$,
• $2 \cdot \sqrt[4]{24} \cdot \sqrt[4]{6} = 2 \cdot \sqrt[4]{144} = 2 \cdot \sqrt{12} = 4\sqrt{3}$,
• $\left(\sqrt[4]{6}\right)^2 = \sqrt{6}$.

Таким образом, числитель равен:

$$2\sqrt{6} + 4\sqrt{3} + \sqrt{6}.$$

Шаг 2: Преобразуем знаменатель

Знаменатель:

$$4\sqrt{3} + 3\sqrt{6}.$$

Мы не будем его упрощать, так как он уже в нужной форме.

Шаг 3: Подставим числитель и знаменатель

Подставим числитель и знаменатель в исходное выражение:

$$\frac{2\sqrt{6} + 4\sqrt{3} + \sqrt{6}}{4\sqrt{3} + 3\sqrt{6}}.$$

После упрощений мы получим:

$$1.$$

Ответ: $1$.

г)

$$\frac{1 — 2\sqrt[4]{5} + \sqrt{5}}{(\sqrt{3} — \sqrt[4]{45})^2}$$

Шаг 1: Преобразуем числитель

Числитель:

$$1 — 2\sqrt[4]{5} + \sqrt{5}.$$

Здесь нет необходимости в упрощении, оставим выражение как есть.

Шаг 2: Преобразуем знаменатель

Знаменатель:

$$(\sqrt{3} — \sqrt[4]{45})^2.$$

Используем формулу для квадрата разности:

$$(a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2.$$

Здесь $a = \sqrt{3}$ и $b = \sqrt[4]{45}$, поэтому:

$$(\sqrt{3} — \sqrt[4]{45})^2 = \sqrt{3}^2 — 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt[4]{45} + (\sqrt[4]{45})^2.$$

Вычислим:

• $\sqrt{3}^2 = 3$,
• $(\sqrt[4]{45})^2 = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$,
• $2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt[4]{45} = 2\sqrt{3} \cdot \sqrt[4]{45}$.

Теперь у нас выражение:

$$3 — 2\sqrt{3} \cdot \sqrt[4]{45} + 3\sqrt{5}.$$

Шаг 3: Подставим числитель и знаменатель

Подставим числитель и знаменатель в исходное выражение:

$$\frac{1 — 2\sqrt[4]{5} + \sqrt{5}}{(\sqrt{3} — \sqrt[4]{45})^2}.$$

После дальнейших упрощений получаем:

$$\frac{1}{3}.$$

Ответ: $\frac{1}{3}$.