ГДЗ 10-11 Класс Номер 36.26 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $(\sqrt[3]{9a^{2}x}-2\sqrt[3]{3abx}+\sqrt[3]{b^{2}x}):(\sqrt[3]{3a}-\sqrt[3]{b})$

б) $(\sqrt[3]{16x^2}-\sqrt[3]{25y^2}):(\sqrt[3]{4x}-\sqrt[3]{5y})$

Выполнить действия:

а) $\left(\sqrt[3]{9a^2x} — 2\sqrt[3]{3abx} + \sqrt[3]{b^2x}\right) : (\sqrt[3]{3a} — \sqrt[3]{b})$

$$= \frac{\sqrt[3]{x} \cdot (\sqrt[3]{9a^2} — 2\sqrt[3]{3ab} + \sqrt[3]{b^2})^2}{\sqrt[3]{3a} — \sqrt[3]{b}} = \frac{\sqrt[3]{x} \cdot (\sqrt[3]{3a} — \sqrt[3]{b})^2}{\sqrt[3]{3a} — \sqrt[3]{b}} =$$ $$= \sqrt[3]{x} \cdot (\sqrt[3]{3a} — \sqrt[3]{b}) = \sqrt[3]{3ax} — \sqrt[3]{bx};$$

Ответ: $\sqrt[3]{3ax} — \sqrt[3]{bx}$.

б) $\left(\sqrt[3]{16x^2} — \sqrt[3]{25y^2}\right) : (\sqrt[3]{4x} — \sqrt[3]{5y})$

$$= \frac{(\sqrt[3]{4x} — \sqrt[3]{5y})(\sqrt[3]{4x} + \sqrt[3]{5y})}{\sqrt[3]{4x} — \sqrt[3]{5y}} = \sqrt[3]{4x} + \sqrt[3]{5y};$$

Ответ: $\sqrt[3]{4x} + \sqrt[3]{5y}$.

а) $\left(\sqrt[3]{9a^2x} — 2\sqrt[3]{3abx} + \sqrt[3]{b^2x}\right) : (\sqrt[3]{3a} — \sqrt[3]{b})$

Шаг 1: Исходное выражение

Мы начинаем с того, что дано следующее выражение:

$$\frac{\sqrt[3]{9a^2x} — 2\sqrt[3]{3abx} + \sqrt[3]{b^2x}}{\sqrt[3]{3a} — \sqrt[3]{b}}$$

Видим, что в числителе находятся кубические корни, и что числитель представляет собой разность кубов. Постараемся упростить числитель.

Шаг 2: Упростим числитель

Запишем числитель более удобно:

$$\sqrt[3]{9a^2x} — 2\sqrt[3]{3abx} + \sqrt[3]{b^2x}$$

Посмотрим на каждый из членов числителя:

1. $\sqrt[3]{9a^2x} = \sqrt[3]{(3^2)(a^2)(x)} = 3\sqrt[3]{a^2x}$,
2. $2\sqrt[3]{3abx}$,
3. $\sqrt[3]{b^2x} = b\sqrt[3]{x}$.

Теперь выделим общий множитель из числителя:

$$\sqrt[3]{x} \cdot ( \sqrt[3]{9a^2} — 2\sqrt[3]{3ab} + \sqrt[3]{b^2} ).$$

Таким образом, числитель преобразуется в:

$$\sqrt[3]{x} \cdot \left( \sqrt[3]{9a^2} — 2\sqrt[3]{3ab} + \sqrt[3]{b^2} \right).$$

Шаг 3: Упростим знаменатель

Теперь рассмотрим знаменатель:

$$\sqrt[3]{3a} — \sqrt[3]{b}.$$

Это выражение не поддается дальнейшему упрощению, так как оно уже является разностью кубов.

Шаг 4: Применим формулу разности кубов

Памятуя, что разность кубов $(a — b)^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2)$, можем записать:

$$\frac{\sqrt[3]{x} \cdot (\sqrt[3]{3a} — \sqrt[3]{b})^2}{\sqrt[3]{3a} — \sqrt[3]{b}}.$$

Теперь сократим $\sqrt[3]{3a} — \sqrt[3]{b}$ в числителе и знаменателе:

$$\sqrt[3]{x} \cdot (\sqrt[3]{3a} — \sqrt[3]{b}).$$

Шаг 5: Финальный результат

У нас получилось:

$$\sqrt[3]{x} \cdot (\sqrt[3]{3a} — \sqrt[3]{b}) = \sqrt[3]{3ax} — \sqrt[3]{bx}.$$

Ответ:

$$\sqrt[3]{3ax} — \sqrt[3]{bx}.$$

б) $\left(\sqrt[3]{16x^2} — \sqrt[3]{25y^2}\right) : (\sqrt[3]{4x} — \sqrt[3]{5y})$

Шаг 1: Исходное выражение

Записываем выражение:

$$\frac{\sqrt[3]{16x^2} — \sqrt[3]{25y^2}}{\sqrt[3]{4x} — \sqrt[3]{5y}}.$$

Шаг 2: Упростим числитель

Числитель:

$$\sqrt[3]{16x^2} — \sqrt[3]{25y^2}$$

Преобразуем каждый кубический корень:

1. $\sqrt[3]{16x^2} = \sqrt[3]{(2^4)(x^2)} = 2\sqrt[3]{x^2}$,
2. $\sqrt[3]{25y^2} = \sqrt[3]{(5^2)(y^2)} = 5\sqrt[3]{y^2}$.

Теперь числитель можно записать как:

$$2\sqrt[3]{x^2} — 5\sqrt[3]{y^2}.$$

Шаг 3: Упростим знаменатель

Знаменатель:

$$\sqrt[3]{4x} — \sqrt[3]{5y}$$

Преобразуем кубические корни:

1. $\sqrt[3]{4x} = \sqrt[3]{4}\sqrt[3]{x} = 2^{2/3} \cdot \sqrt[3]{x}$,
2. $\sqrt[3]{5y} = \sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{y}$.

Знаменатель остается в этой форме.

Шаг 4: Применим формулу разности кубов

Теперь заметим, что числитель и знаменатель представляют собой разность кубов. Используем формулу разности кубов:

$$(a — b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 — b^3.$$

Применяем её к числителю и знаменателю:

$$\frac{(\sqrt[3]{4x} — \sqrt[3]{5y})(\sqrt[3]{4x} + \sqrt[3]{5y})}{\sqrt[3]{4x} — \sqrt[3]{5y}} = \sqrt[3]{4x} + \sqrt[3]{5y}.$$

Шаг 5: Финальный результат

Таким образом, окончательный результат:

$$\sqrt[3]{4x} + \sqrt[3]{5y}.$$

Ответ:

$$\sqrt[3]{4x}+\sqrt[3]{5y}\mathrm{.}$$