ГДЗ 10-11 Класс Номер 36.28 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $\sqrt[4]{m}-\sqrt[8]{m}-6$

б) $\sqrt{m}+5\sqrt[4]{m}+6$

в) $\sqrt[5]{a}+7\sqrt[10]{a}+12$

г) $2\sqrt[3]{x}-\sqrt[6]{x}-1$

Разложить на множители:

а) $\sqrt[4]{m} — \sqrt[8]{m} — 6 = (\sqrt[8]{m} + 2)(\sqrt[8]{m} — 3)$;

$D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25$, тогда:

$\sqrt[8]{m_1} = \frac{1 — 5}{2} = -2$ и $\sqrt[8]{m_2} = \frac{1 + 5}{2} = 3$;

Ответ: $(\sqrt[8]{m} + 2)(\sqrt[8]{m} — 3)$.

б) $\sqrt{m} + 5\sqrt[4]{m} + 6 = (\sqrt[4]{m} + 3)(\sqrt[4]{m} + 2)$;

$D = 5^2 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1$, тогда:

$\sqrt[4]{m_1} = \frac{-5 — 1}{2} = -3$ и $\sqrt[4]{m_2} = \frac{-5 + 1}{2} = -2$;

Ответ: $(\sqrt[4]{m} + 3)(\sqrt[4]{m} + 2)$.

в) $\sqrt[5]{a} + 7\sqrt[10]{a} + 12 = (\sqrt[10]{a} + 4)(\sqrt[10]{a} + 3)$;

$D = 7^2 — 4 \cdot 12 = 49 — 48 = 1$, тогда:

$\sqrt[10]{a_1} = \frac{-7 — 1}{2} = -4$ и $\sqrt[10]{a_2} = \frac{-7 + 1}{2} = -3$;

Ответ: $(\sqrt[10]{a} + 4)(\sqrt[10]{a} + 3)$.

г) $2\sqrt[3]{x} — \sqrt[6]{x} — 1 = 2\left(\sqrt[6]{x} + \frac{1}{2}\right)(\sqrt[6]{x} — 1) = (2\sqrt[6]{x} + 1)(\sqrt[6]{x} — 1)$;

$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9$, тогда:

$\sqrt[6]{x_1} = \frac{1 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$ и $\sqrt[6]{x_2} = \frac{1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$;

Ответ: $(2\sqrt[6]{x} + 1)(\sqrt[6]{x} — 1)$.

а) $\sqrt[4]{m} — \sqrt[8]{m} — 6$

Шаг 1: Распишем выражение и выделим похожие члены

Начнем с того, что в выражении присутствуют корни различных степеней: $\sqrt[4]{m}$, $\sqrt[8]{m}$, и константа $-6$. Нашей задачей будет группировать и упрощать эти выражения.

Мы видим, что $\sqrt[4]{m}$ и $\sqrt[8]{m}$ являются степенями с разными показателями. Заметим, что $\sqrt[4]{m} = \left( \sqrt[8]{m} \right)^2$. Это позволяет переписать выражение так, чтобы выделить общий множитель.

Шаг 2: Группируем и выделяем общий множитель

Перепишем исходное выражение:

$$\sqrt[4]{m} — \sqrt[8]{m} — 6 = \left( \sqrt[8]{m} \right)^2 — \sqrt[8]{m} — 6$$

Теперь выделим $\sqrt[8]{m}$ как общий множитель для первых двух членов:

$$= \sqrt[8]{m} \left( \sqrt[8]{m} — 1 \right) — 6$$

Шаг 3: Дальше упрощение

Используя разность квадратов, видим, что можно выделить множители из первого и второго слагаемых:

$$= (\sqrt[8]{m} + 2)(\sqrt[8]{m} — 3)$$

Шаг 4: Подставим значения для $m_1$ и $m_2$

Теперь, чтобы привести окончательное выражение, из дискриминанта (если мы его считаем из вида квадратичного уравнения) находим корни:

$$D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25$$

Корни:

$$\sqrt[8]{m_1} = \frac{1 — 5}{2} = -2 \quad \text{и} \quad \sqrt[8]{m_2} = \frac{1 + 5}{2} = 3$$

Ответ:

$$(\sqrt[8]{m} + 2)(\sqrt[8]{m} — 3)$$

б) $\sqrt{m} + 5\sqrt[4]{m} + 6$

Шаг 1: Упрощаем выражение

Мы видим, что у нас выражение состоит из трех частей: $\sqrt{m}$, $5\sqrt[4]{m}$, и константа $+6$. Нам нужно разложить его на множители. Начнем с группировки похожих членов.

Шаг 2: Применим формулу для квадратов

Посмотрим на выражение, где $\sqrt{m}$ и $\sqrt[4]{m}$ могут быть выражены через общие степени. Запишем выражение в удобной форме:

$$\sqrt{m} + 5\sqrt[4]{m} + 6$$

Это выражение можно разложить, используя разность квадратов или же просто заметить, что оно уже представлено в виде квадратичного уравнения с известными коэффициентами.

Шаг 3: Вынесем множители и упростим

Раскроем выражение и выделим множители:

$$(\sqrt[4]{m} + 3)(\sqrt[4]{m} + 2)$$

Шаг 4: Проверим дискриминант

Для проверки, вычислим дискриминант:

$$D = 5^2 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1$$

Корни:

$$\sqrt[4]{m_1} = \frac{-5 — 1}{2} = -3 \quad \text{и} \quad \sqrt[4]{m_2} = \frac{-5 + 1}{2} = -2$$

Ответ:

$$(\sqrt[4]{m} + 3)(\sqrt[4]{m} + 2)$$

в) $\sqrt[5]{a} + 7\sqrt[10]{a} + 12$

Шаг 1: Перепишем выражение

Здесь у нас выражение с корнями разных степеней: $\sqrt[5]{a}$, $7\sqrt[10]{a}$, и константа $+12$. Попробуем привести выражение к удобному виду.

Шаг 2: Группируем похожие члены

Используем аналогичный подход, как в предыдущих примерах:

$$\sqrt[5]{a} + 7\sqrt[10]{a} + 12$$

Это выражение можно разложить с использованием разности квадратов. В данном случае, разложение может быть выполнено следующим образом:

$$(\sqrt[10]{a} + 4)(\sqrt[10]{a} + 3)$$

Шаг 3: Проверим дискриминант

Для проверки находим дискриминант:

$$D = 7^2 — 4 \cdot 12 = 49 — 48 = 1$$

Корни:

$$\sqrt[10]{a_1} = \frac{-7 — 1}{2} = -4 \quad \text{и} \quad \sqrt[10]{a_2} = \frac{-7 + 1}{2} = -3$$

Ответ:

$$(\sqrt[10]{a} + 4)(\sqrt[10]{a} + 3)$$

г) $2\sqrt[3]{x} — \sqrt[6]{x} — 1$

Шаг 1: Упрощаем выражение

Рассмотрим выражение:

$$2\sqrt[3]{x} — \sqrt[6]{x} — 1$$

Мы видим, что $\sqrt[3]{x} = x^{1/3}$ и $\sqrt[6]{x} = x^{1/6}$, что позволяет привести выражение к общему виду.

Шаг 2: Раскроем выражение и выделим множители

Запишем:

$$2\left(\sqrt[6]{x} + \frac{1}{2}\right)(\sqrt[6]{x} — 1) = (2\sqrt[6]{x} + 1)(\sqrt[6]{x} — 1)$$

Шаг 3: Проверим дискриминант

Теперь вычислим дискриминант:

$$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9$$

Корни:

$$\sqrt[6]{x_1} = \frac{1 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \quad \text{и} \quad \sqrt[6]{x_2} = \frac{1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$$

Ответ:

$$(2\sqrt[6]{x}+1)(\sqrt[6]{x}-1)$$