ГДЗ 10-11 Класс Номер 36.29 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Сократите дробь:

а) $\frac{6\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}-1}{2\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}}$;

б) $\frac{3\sqrt{x} — 5\sqrt[4]{x} — 2}{9\sqrt{x} — 1}$

Сократить дробь:

а) $\frac{6\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}-1}{2\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}}$;

Разложим числитель на множители:

$$6\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{x} — 1 = 0;$$

$D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25$, тогда:

$$\sqrt[3]{x_1} = \frac{-1 — 5}{2 \cdot 6} = -\frac{6}{12} = -\frac{1}{2} \quad \text{и} \quad \sqrt[3]{x_2} = \frac{-1 + 5}{2 \cdot 6} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$$

Преобразуем выражение:

$$\frac{6\left(\sqrt[3]{x} + \frac{1}{2}\right)\left(\sqrt[3]{x} — \frac{1}{3}\right)}{2\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{x}} = \frac{(2\sqrt[3]{x} + 1)(3\sqrt[3]{x} — 1)}{\sqrt[3]{x} \cdot (2\sqrt[3]{x} + 1)} = \frac{3\sqrt[3]{x} — 1}{\sqrt[3]{x}};$$

Ответ: $\frac{3\sqrt[3]{x} — 1}{\sqrt[3]{x}}$.

б) $\frac{3\sqrt{x} — 5\sqrt[4]{x} — 2}{9\sqrt{x} — 1}$;

Разложим числитель на множители:

$$3\sqrt{x} — 5\sqrt[4]{x} — 2 = 0;$$

$D = 5^2 + 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 + 24 = 49$, тогда:

$$\sqrt[4]{x_1} = \frac{5 — 7}{2 \cdot 3} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3} \quad \text{и} \quad \sqrt[4]{x_2} = \frac{5 + 7}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2;$$

Преобразуем выражение:

$$\frac{3\left(\sqrt[4]{x} + \frac{1}{3}\right)\left(\sqrt[4]{x} — 2\right)}{9\sqrt{x} — 1} = \frac{(3\sqrt[4]{x} + 1)(\sqrt[4]{x} — 2)}{(3\sqrt[4]{x} — 1)(3\sqrt[4]{x} + 1)} = \frac{\sqrt[4]{x} — 2}{3\sqrt[4]{x} — 1};$$

Ответ: $\frac{\sqrt[4]{x} — 2}{3\sqrt[4]{x} — 1}$.

а) $\frac{6\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{x} — 1}{2\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{x}}$

Шаг 1: Изучим числитель и знаменатель

Дано выражение:

$$\frac{6\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{x} — 1}{2\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{x}}.$$

Мы видим, что числитель и знаменатель содержат кубические корни с переменной $x$, и эти выражения можно упростить и разложить. Для этого будем использовать метод выделения общих множителей.

Шаг 2: Разложим числитель на множители

Числитель состоит из трех членов:

$$6\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{x} — 1.$$

Чтобы разложить числитель, попробуем использовать метод выделения множителей. Сначала подставим $z = \sqrt[3]{x}$, тогда $z^3 = x$. Это позволяет упростить числитель:

$$6z^2 + z — 1.$$

Теперь разложим это выражение. Оно представляет собой стандартное квадратное уравнение в $z$, и можно использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

$$D = 1^2 + 4 \cdot 6 \cdot 1 = 1 + 24 = 25.$$

Найдем корни уравнения:

$$z_1 = \frac{-1 — \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{-1 — 5}{12} = -\frac{6}{12} = -\frac{1}{2},$$ $$z_2 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{-1 + 5}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}.$$

Таким образом, числитель можно разложить на множители:

$$6z^2 + z — 1 = 6(z — \frac{1}{2})(z — \frac{1}{3}).$$

Шаг 3: Разложим знаменатель

Знаменатель:

$$2\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{x} = 2z^2 + z.$$

Мы можем вынести общий множитель $z$:

$$2z^2 + z = z(2z + 1).$$

Шаг 4: Подставим выражения обратно

Теперь подставим найденные выражения для числителя и знаменателя:

$$\frac{6z^2 + z — 1}{2z^2 + z} = \frac{6(z — \frac{1}{2})(z — \frac{1}{3})}{z(2z + 1)}.$$

Шаг 5: Сократим дробь

Теперь заметим, что в числителе и знаменателе есть общий множитель $z$, который можно сократить:

$$\frac{6(z — \frac{1}{2})(z — \frac{1}{3})}{z(2z + 1)} = \frac{6(z — \frac{1}{2})(z — \frac{1}{3})}{(2z + 1)}.$$

Шаг 6: Подставим обратно $z = \sqrt[3]{x}$

Заменим $z$ обратно на $\sqrt[3]{x}$:

$$\frac{6\left(\sqrt[3]{x} — \frac{1}{2}\right)\left(\sqrt[3]{x} — \frac{1}{3}\right)}{2\sqrt[3]{x} + 1}.$$

После сокращения дробь примет следующий вид:

$$\frac{3\sqrt[3]{x} — 1}{\sqrt[3]{x}}.$$

Ответ:

$$\frac{3\sqrt[3]{x} — 1}{\sqrt[3]{x}}.$$

б) $\frac{3\sqrt{x} — 5\sqrt[4]{x} — 2}{9\sqrt{x} — 1}$

Шаг 1: Изучим числитель и знаменатель

Дано выражение:

$$\frac{3\sqrt{x} — 5\sqrt[4]{x} — 2}{9\sqrt{x} — 1}.$$

Числитель и знаменатель имеют радикалы разных степеней, и нам нужно их разложить.

Шаг 2: Разложим числитель на множители

Числитель:

$$3\sqrt{x} — 5\sqrt[4]{x} — 2.$$

Попробуем выразить это через $z = \sqrt[4]{x}$, тогда $z^4 = x$. Числитель станет:

$$3z^2 — 5z — 2.$$

Теперь найдем корни квадратного уравнения $3z^2 — 5z — 2 = 0$ с помощью дискриминанта:

$$D = (-5)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49.$$

Найдем корни уравнения:

$$z_1 = \frac{-(-5) — \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 — 7}{6} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3},$$ $$z_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 + 7}{6} = \frac{12}{6} = 2.$$

Таким образом, числитель можно разложить на множители:

$$3z^2 — 5z — 2 = 3(z — 2)(z + \frac{1}{3}).$$

Шаг 3: Разложим знаменатель

Знаменатель:

$$9\sqrt{x} — 1 = 9z^2 — 1.$$

Это разность квадратов, которую можно разложить:

$$9z^2 — 1 = (3z — 1)(3z + 1).$$

Шаг 4: Подставим выражения обратно

Теперь подставим выражения для числителя и знаменателя:

$$\frac{3(z — 2)(z + \frac{1}{3})}{(3z — 1)(3z + 1)}.$$

Шаг 5: Сократим дробь

Теперь мы видим, что числитель и знаменатель можно упростить и получить:

$$\frac{z — 2}{3z — 1}.$$

Заменив $z = \sqrt[4]{x}$, получаем окончательное выражение:

$$\frac{\sqrt[4]{x} — 2}{3\sqrt[4]{x} — 1}.$$

Ответ:

$$\frac{\sqrt[4]{x}-2}{3\sqrt[4]{x}-1}\mathrm{}$$