ГДЗ 10-11 Класс Номер 36.3 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вынесите множитель из-под знака корня, считая, что переменные принимают только неотрицательные значения:

а) $\sqrt{x^3}$

б) $\sqrt[3]{a^4}$

в) $\sqrt[5]{m^7}$

г) $\sqrt[4]{n^{13}}$

Вынести множитель из-под знака корня, считая, что переменные принимают только неотрицательные значения:

а) $\sqrt{x^3} = \sqrt{x^2 \cdot x} = x\sqrt{x}$;
Ответ: $x\sqrt{x}$.

б) $\sqrt[3]{a^4} = \sqrt[3]{a^3 \cdot a} = a\sqrt[3]{a}$;
Ответ: $a\sqrt[3]{a}$.

в) $\sqrt[5]{m^7} = \sqrt[5]{m^5 \cdot m^2} = m\sqrt[5]{m^2}$;
Ответ: $m\sqrt[5]{m^2}$.

г) $\sqrt[4]{n^{13}} = \sqrt[4]{n^{12} \cdot n} = \sqrt[4]{n^{4 \cdot 3} \cdot n} = n^3 \cdot \sqrt[4]{n}$;
Ответ: $n^3 \cdot \sqrt[4]{n}$.

Задача а) $\sqrt{x^3}$

Шаг 1: Разложение подкоренного выражения

Исходное выражение:

$$\sqrt{x^3}$$

Мы видим, что выражение под корнем можно разложить как произведение:

$$x^3 = x^2 \cdot x$$

Таким образом:

$$\sqrt{x^3} = \sqrt{x^2 \cdot x}$$

Шаг 2: Применяем свойство корней

Используем свойство корня, которое гласит, что корень из произведения можно разложить как произведение корней:

$$\sqrt{x^2 \cdot x} = \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{x}$$

Шаг 3: Извлекаем корни

Теперь извлекаем корень из $x^2$:

$$\sqrt{x^2} = x$$

Так как $x$ — неотрицательная переменная, $\sqrt{x^2} = x$. Таким образом:

$$\sqrt{x^3} = x \cdot \sqrt{x}$$

Ответ для а): $x\sqrt{x}$.

Задача б) $\sqrt[3]{a^4}$

Шаг 1: Разложение подкоренного выражения

Исходное выражение:

$$\sqrt[3]{a^4}$$

Мы видим, что выражение под корнем можно разложить как произведение:

$$a^4 = a^3 \cdot a$$

Таким образом:

$$\sqrt[3]{a^4} = \sqrt[3]{a^3 \cdot a}$$

Шаг 2: Применяем свойство корней

Используем свойство корня для произведения:

$$\sqrt[3]{a^3 \cdot a} = \sqrt[3]{a^3} \cdot \sqrt[3]{a}$$

Шаг 3: Извлекаем корни

Теперь извлекаем корень из $a^3$:

$$\sqrt[3]{a^3} = a$$

Поскольку $a$ — неотрицательная переменная, $\sqrt[3]{a^3} = a$. Таким образом:

$$\sqrt[3]{a^4} = a \cdot \sqrt[3]{a}$$

Ответ для б): $a\sqrt[3]{a}$.

Задача в) $\sqrt[5]{m^7}$

Шаг 1: Разложение подкоренного выражения

Исходное выражение:

$$\sqrt[5]{m^7}$$

Разложим выражение под корнем:

$$m^7 = m^5 \cdot m^2$$

Таким образом:

$$\sqrt[5]{m^7} = \sqrt[5]{m^5 \cdot m^2}$$

Шаг 2: Применяем свойство корней

Используем свойство корня для произведения:

$$\sqrt[5]{m^5 \cdot m^2} = \sqrt[5]{m^5} \cdot \sqrt[5]{m^2}$$

Шаг 3: Извлекаем корни

Теперь извлекаем корень из $m^5$:

$$\sqrt[5]{m^5} = m$$

Поскольку $m$ — неотрицательная переменная, $\sqrt[5]{m^5} = m$. Таким образом:

$$\sqrt[5]{m^7} = m \cdot \sqrt[5]{m^2}$$

Ответ для в): $m\sqrt[5]{m^2}$.

Задача г) $\sqrt[4]{n^{13}}$

Шаг 1: Разложение подкоренного выражения

Исходное выражение:

$$\sqrt[4]{n^{13}}$$

Мы можем разложить выражение $n^{13}$ на множители:

$$n^{13} = n^{12} \cdot n$$

Так как $12 = 4 \cdot 3$, можем записать:

$$n^{13} = n^{4 \cdot 3} \cdot n$$

Таким образом:

$$\sqrt[4]{n^{13}} = \sqrt[4]{n^{4 \cdot 3} \cdot n}$$

Шаг 2: Применяем свойство корней

Теперь применим свойство корня для произведения:

$$\sqrt[4]{n^{4 \cdot 3} \cdot n} = \sqrt[4]{n^{4 \cdot 3}} \cdot \sqrt[4]{n}$$

Шаг 3: Извлекаем корни

Извлекаем корень из $n^{4 \cdot 3}$:

$$\sqrt[4]{n^{4 \cdot 3}} = n^3$$

Так как $n^{4 \cdot 3}$ — это степень, кратная 4, то корень из этого числа будет равен $n^3$. Таким образом:

$$\sqrt[4]{n^{13}} = n^3 \cdot \sqrt[4]{n}$$

Ответ для г): $n^3 \cdot \sqrt[4]{n}$.

Итоговые ответы:

а) $x\sqrt{x}$

б) $a\sqrt[3]{a}$

в) $m\sqrt[5]{m^2}$

г) $n^3 \cdot \sqrt[4]{n}$