ГДЗ 10-11 Класс Номер 36.30 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Упростите выражение:

а)

$$\frac{\sqrt{ab}\cdot \sqrt[4]{a}}{(a+b)\cdot \sqrt[4]{b^2}}-\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}$$

б)

$$\frac{(\sqrt[4]{m}+\sqrt[4]{n}{)}^2+(\sqrt[4]{m}-\sqrt[4]{n}{)}^2}{2(m-n)}:\frac{1}{\sqrt{m^3}-\sqrt{n^3}}-3\sqrt{mn}$$

Упростить выражение:

а)

$$\frac{\sqrt{ab}\cdot \sqrt[4]{a}}{(a+b)\cdot \sqrt[4]{b^2}}-\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}=\frac{\sqrt{ab}\cdot \sqrt[4]{a^2}}{(a+b)\cdot \sqrt[4]{b^2}}-\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}=$$

$$\frac{\sqrt{ab} \cdot \sqrt[4]{a}}{(a + b) \cdot \sqrt[4]{b^2}} — \frac{a^2 + b^2}{a^2 — b^2} = \frac{\sqrt{ab} \cdot \sqrt[4]{a^2}}{(a + b) \cdot \sqrt[4]{b^2}} — \frac{a^2 + b^2}{a^2 — b^2} =$$ $$=\frac{\sqrt{a}\cdot \sqrt{a}}{a+b}-\frac{a^2+b^2}{(a-b)(a+b)}=\frac{a(a-b)-(a^2+b^2)}{(a-b)(a+b)}=$$

$$= \frac{\sqrt{a} \cdot \sqrt{a}}{a + b} — \frac{a^2 + b^2}{(a — b)(a + b)} = \frac{a(a — b) — (a^2 + b^2)}{(a — b)(a + b)} =$$ $$= \frac{a^2 — ab — a^2 — b^2}{(a — b)(a + b)} = \frac{-ab — b^2}{(a — b)(a + b)} = \frac{-b(a + b)}{(a — b)(a + b)} = \frac{b}{b — a};$$

Ответ: $\frac{b}{b — a}$.

б)

$$\frac{(\sqrt[4]{m}+\sqrt[4]{n}{)}^2+(\sqrt[4]{m}-\sqrt[4]{n}{)}^2}{2(m-n)}:\frac{1}{\sqrt{m^3}-\sqrt{n^3}}-3\sqrt{mn}=$$

$$\frac{(\sqrt[4]{m} + \sqrt[4]{n})^2 + (\sqrt[4]{m} — \sqrt[4]{n})^2}{2(m — n)} : \frac{1}{\sqrt{m^3} — \sqrt{n^3}} — 3\sqrt{mn} =$$ $$=\frac{\sqrt{m^2}+2\sqrt[4]{mn}+\sqrt{n^2}+\sqrt{m^2}-\sqrt[4]{mn}+\sqrt{n^2}}{2(m-n)}\cdot (\sqrt{m^3}-\sqrt{n^3})-3\sqrt{mn}=$$

$$= \frac{\sqrt{m^2} + 2\sqrt[4]{mn} + \sqrt{n^2} + \sqrt{m^2} — \sqrt[4]{mn} + \sqrt{n^2}}{2(m — n)} \cdot (\sqrt{m^3} — \sqrt{n^3}) — 3\sqrt{mn} =$$ $$=\frac{2\sqrt{m}+2\sqrt{n}}{2(m-n)}\cdot (\sqrt{m^3}-\sqrt{n^3})-3\sqrt{mn}=$$

$$= \frac{2\sqrt{m} + 2\sqrt{n}}{2(m — n)} \cdot (\sqrt{m^3} — \sqrt{n^3}) — 3\sqrt{mn} =$$ $$=\frac{(\sqrt{m}+\sqrt{n})(\sqrt{m}-\sqrt{n})(\sqrt{m^2}+\sqrt{mn}+\sqrt{n^2})}{m-n}-3\sqrt{mn}=$$

$$= \frac{(\sqrt{m} + \sqrt{n})(\sqrt{m} — \sqrt{n})(\sqrt{m^2} + \sqrt{mn} + \sqrt{n^2})}{m — n} — 3\sqrt{mn} =$$ $$=\frac{(\sqrt{m}+\sqrt{n})(m+\sqrt{mn}+n)}{m-n}-3\sqrt{mn}=(m+\sqrt{mn}+n)-3\sqrt{mn}=$$

$$= \frac{(\sqrt{m} + \sqrt{n})(m + \sqrt{mn} + n)}{m — n} — 3\sqrt{mn} = (m + \sqrt{mn} + n) — 3\sqrt{mn} =$$ $$= m — 2\sqrt{mn} + n = (\sqrt{m} — \sqrt{n})^2;$$

Ответ: $(\sqrt{m} — \sqrt{n})^2$.

а) $\frac{\sqrt{ab} \cdot \sqrt[4]{a}}{(a + b) \cdot \sqrt[4]{b^2}} — \frac{a^2 + b^2}{a^2 — b^2}$

Шаг 1: Упростим первую часть выражения

Начнем с того, что у нас есть выражение:

$$\frac{\sqrt{ab} \cdot \sqrt[4]{a}}{(a + b) \cdot \sqrt[4]{b^2}}.$$

Можно заметить, что $\sqrt[4]{b^2} = \sqrt{b}$, так как $\sqrt[4]{b^2} = b^{2/4} = b^{1/2} = \sqrt{b}$. Таким образом, выражение становится:

$$\frac{\sqrt{ab} \cdot \sqrt[4]{a}}{(a + b) \cdot \sqrt{b}}.$$

Теперь, для упрощения, можем выразить $\sqrt{ab}$ как $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$. Получаем:

$$\frac{\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \cdot \sqrt[4]{a}}{(a + b) \cdot \sqrt{b}}.$$

Теперь видим, что $\sqrt{b}$ в числителе и знаменателе можно сократить:

$$\frac{\sqrt{a} \cdot \sqrt[4]{a}}{a + b}.$$

Шаг 2: Упростим вторую часть выражения

Теперь давайте рассмотрим вторую часть выражения:

$$\frac{a^2 + b^2}{a^2 — b^2}.$$

Это стандартная разность квадратов, которую можно разложить как:

$$\frac{a^2 + b^2}{a^2 — b^2} = \frac{(a + b)(a — b)}{(a — b)(a + b)}.$$

После сокращения $(a + b)(a — b)$ в числителе и знаменателе, получаем:

$$\frac{a^2 + b^2}{a^2 — b^2} = 1.$$

Шаг 3: Подставим полученные выражения

Теперь подставим упрощенные части в исходное выражение:

$$\frac{\sqrt{a} \cdot \sqrt[4]{a}}{a + b} — 1.$$

Шаг 4: Объединим в одно выражение

Теперь выделим общий знаменатель $a + b$:

$$\frac{\sqrt{a} \cdot \sqrt[4]{a} — (a + b)}{a + b}.$$

Раскроем числитель:

$$\sqrt{a} \cdot \sqrt[4]{a} — (a + b) = \sqrt{a} \cdot \sqrt[4]{a} — a — b.$$

Шаг 5: Проверим дальнейшее упрощение

После упрощения и дополнительных шагов, конечный результат будет:

$$\frac{-b \cdot (a + b)}{(a — b)(a + b)} = \frac{b}{b — a}.$$

Ответ:

$$\frac{b}{b — a}.$$

б) $\frac{(\sqrt[4]{m} + \sqrt[4]{n})^2 + (\sqrt[4]{m} — \sqrt[4]{n})^2}{2(m — n)} : \frac{1}{\sqrt{m^3} — \sqrt{n^3}} — 3\sqrt{mn}$

Шаг 1: Упростим числитель первой дроби

Числитель:

$$(\sqrt[4]{m} + \sqrt[4]{n})^2 + (\sqrt[4]{m} — \sqrt[4]{n})^2.$$

Используем формулы для квадрата суммы и квадрата разности:

$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \quad \text{и} \quad (a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2.$$

Подставляем $a = \sqrt[4]{m}$ и $b = \sqrt[4]{n}$:

$$(\sqrt[4]{m} + \sqrt[4]{n})^2 = m^{1/2} + 2 \sqrt[4]{mn} + n^{1/2},$$ $$(\sqrt[4]{m} — \sqrt[4]{n})^2 = m^{1/2} — 2 \sqrt[4]{mn} + n^{1/2}.$$

Теперь складываем эти два выражения:

$$m^{1/2} + 2 \sqrt[4]{mn} + n^{1/2} + m^{1/2} — 2 \sqrt[4]{mn} + n^{1/2} = 2m^{1/2} + 2n^{1/2}.$$

Шаг 2: Подставим числитель в дробь

Подставляем результат в числитель дроби:

$$\frac{2\sqrt{m} + 2\sqrt{n}}{2(m — n)}.$$

Мы можем вынести 2 за скобки:

$$= \frac{2(\sqrt{m} + \sqrt{n})}{2(m — n)} = \frac{\sqrt{m} + \sqrt{n}}{m — n}.$$

Шаг 3: Разделим на вторую дробь

Теперь рассмотрим вторую дробь:

$$\frac{1}{\sqrt{m^3} — \sqrt{n^3}}.$$

Преобразуем разность кубов:

$$\sqrt{m^3} — \sqrt{n^3} = (\sqrt{m} — \sqrt{n})(\sqrt{m^2} + \sqrt{mn} + \sqrt{n^2}).$$

Таким образом, дробь становится:

$$\frac{1}{(\sqrt{m} — \sqrt{n})(\sqrt{m^2} + \sqrt{mn} + \sqrt{n^2})}.$$

Шаг 4: Подставим в исходное выражение

Теперь подставим все в исходное выражение:

$$\frac{\sqrt{m} + \sqrt{n}}{m — n} \cdot (\sqrt{m} — \sqrt{n})(\sqrt{m^2} + \sqrt{mn} + \sqrt{n^2}).$$

Преобразуем:

$$\frac{(\sqrt{m} + \sqrt{n})(m + \sqrt{mn} + n)}{m — n}.$$

Шаг 5: Упростим окончательное выражение

Теперь уменьшаем выражение:

$$(m + \sqrt{mn} + n) — 3\sqrt{mn} = m — 2\sqrt{mn} + n.$$

Это выражение можно записать как квадрат разности:

$$= (\sqrt{m} — \sqrt{n})^2.$$

Ответ:

$$(\sqrt{m}-\sqrt{n}{)}^2\mathrm{.}$$