ГДЗ 10-11 Класс Номер 36.31 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а)

$$\frac{x\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt[3]{x^2}-1}-\frac{\sqrt[3]{x^2}-1}{\sqrt[3]{x}+1}=4;$$

б)

$$\frac{x+8}{\sqrt[3]{x}+2}+\frac{\sqrt[3]{x^2}-25}{\sqrt[3]{x}+5}=5$$

Решить уравнение:

а)

$$\frac{x\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt[3]{x^2}-1}-\frac{\sqrt[3]{x^2}-1}{\sqrt[3]{x}+1}=4;$$

$$\frac{x\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt[3]{x^2}-1} — \frac{\sqrt[3]{x^2}-1}{\sqrt[3]{x}+1} = 4;$$ $$\frac{(\sqrt[3]{x^2}+1)(\sqrt[3]{x^2}-1)}{\sqrt[3]{x^2}-1}-\frac{(\sqrt[3]{x}+1)(\sqrt[3]{x}-1)}{\sqrt[3]{x}+1}=4;$$

$$\frac{(\sqrt[3]{x^2}+1)(\sqrt[3]{x^2}-1)}{\sqrt[3]{x^2}-1} — \frac{(\sqrt[3]{x}+1)(\sqrt[3]{x}-1)}{\sqrt[3]{x}+1} = 4;$$ $$(\sqrt[3]{x^2}+1)-(\sqrt[3]{x}-1)-4=0;$$

$$(\sqrt[3]{x^2}+1) — (\sqrt[3]{x}-1) — 4 = 0;$$ $$\sqrt[3]{x^2} — \sqrt[3]{x} — 2 = 0;$$

Пусть $y = \sqrt[3]{x}$, тогда:

$$y^2-y-2=0;$$

$$y^2 — y — 2 = 0;$$ $$D=1^2+4\cdot 2=1+8=9,\text{ тогда:}$$

$$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9, \text{ тогда:}$$ $$y_1 = \frac{1-3}{2} = -1 \text{ и } y_2 = \frac{1+3}{2} = 2;$$

Первое значение:

$$\sqrt[3]{x} = -1; \\ x = (-1)^3 = -1;$$

Второе значение:

$$\sqrt[3]{x} = 2; \\ x = 2^3 = 8;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x \ne \pm 1;$$

Ответ: 8.

б)

$$\frac{x+8}{\sqrt[3]{x}+2}+\frac{\sqrt[3]{x^2}-25}{\sqrt[3]{x}+5}=5;$$

$$\frac{x+8}{\sqrt[3]{x}+2} + \frac{\sqrt[3]{x^2}-25}{\sqrt[3]{x}+5} = 5;$$ $$\frac{(\sqrt[3]{x}+2)(\sqrt[3]{x^2}-2\sqrt[3]{x}+4)}{\sqrt[3]{x}+2}+\frac{(\sqrt[3]{x}+5)(\sqrt[3]{x}-5)}{\sqrt[3]{x}+5}=5;$$

$$\frac{(\sqrt[3]{x}+2)(\sqrt[3]{x^2}-2\sqrt[3]{x}+4)}{\sqrt[3]{x}+2} + \frac{(\sqrt[3]{x}+5)(\sqrt[3]{x}-5)}{\sqrt[3]{x}+5} = 5;$$ $$(\sqrt[3]{x^2}-2\sqrt[3]{x}+4)+(\sqrt[3]{x}-5)-5=0;$$

$$(\sqrt[3]{x^2}-2\sqrt[3]{x}+4) + (\sqrt[3]{x}-5) — 5 = 0;$$ $$\sqrt[3]{x^2} — \sqrt[3]{x} — 6 = 0;$$

Пусть $y = \sqrt[3]{x}$, тогда:

$$y^2-y-6=0;$$

$$y^2 — y — 6 = 0;$$ $$D=1^2+4\cdot 6=1+24=25,\text{ тогда:}$$

$$D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25, \text{ тогда:}$$ $$y_1 = \frac{1-5}{2} = -2 \text{ и } y_2 = \frac{1+5}{2} = 3;$$

Первое значение:

$$\sqrt[3]{x} = -2; \\ x = (-2)^3 = -8;$$

Второе значение:

$$\sqrt[3]{x} = 3; \\ x = 3^3 = 27;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x_1 \ne -8, \ x_2 \ne -125;$$

Ответ: 27.

а)

$$\frac{x\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt[3]{x^2}-1} — \frac{\sqrt[3]{x^2}-1}{\sqrt[3]{x}+1} = 4.$$

Шаг 1: Преобразуем выражение

Начнем с того, что у нас есть два дробных выражения. Попробуем упростить и объединить их. Для этого воспользуемся следующим методом.

Применим разложение на множители для выражений числителя и знаменателя.

Первое выражение:

$$\frac{x\sqrt[3]{x} — 1}{\sqrt[3]{x^2} — 1}$$

Используем разность кубов для знаменателя $\sqrt[3]{x^2} — 1$:

$$\sqrt[3]{x^2} — 1 = (\sqrt[3]{x} — 1)(\sqrt[3]{x} + 1 + \sqrt[3]{x^2}).$$

Таким образом, выражение становится:

$$\frac{x\sqrt[3]{x} — 1}{(\sqrt[3]{x} — 1)(\sqrt[3]{x} + 1 + \sqrt[3]{x^2})}.$$

Второе выражение:

$$\frac{\sqrt[3]{x^2} — 1}{\sqrt[3]{x} + 1}$$

Для числителя $\sqrt[3]{x^2} — 1$ применяем разность кубов:

$$\frac{(\sqrt[3]{x} — 1)(\sqrt[3]{x} + 1 + \sqrt[3]{x^2})}{\sqrt[3]{x} + 1}.$$

Шаг 2: Объединение выражений

Теперь у нас есть два выражения:

$$\frac{x\sqrt[3]{x} — 1}{(\sqrt[3]{x} — 1)(\sqrt[3]{x} + 1 + \sqrt[3]{x^2})} \quad \text{и} \quad \frac{(\sqrt[3]{x} — 1)(\sqrt[3]{x} + 1 + \sqrt[3]{x^2})}{\sqrt[3]{x} + 1}.$$

Давайте объединем их в одно выражение. Для этого замечаем, что в одном выражении есть общий множитель $\sqrt[3]{x} — 1$. Упростим их, и получим:

$$\frac{(\sqrt[3]{x} — 1)}{\sqrt[3]{x} + 1} \cdot \left( (\sqrt[3]{x} + 1 + \sqrt[3]{x^2}) — (\sqrt[3]{x} — 1) \right).$$

Шаг 3: Упрощение

Теперь упрощаем выражение в скобках:

$$(\sqrt[3]{x} + 1 + \sqrt[3]{x^2}) — (\sqrt[3]{x} — 1) = \sqrt[3]{x^2} + 1 + 1 = \sqrt[3]{x^2} + 2.$$

Таким образом, наше выражение принимает вид:

$$\frac{\sqrt[3]{x^2} + 2}{\sqrt[3]{x} + 1}.$$

Шаг 4: Переводим в более простую форму

Это выражение теперь можно упростить дальше:

$$\sqrt[3]{x^2} — \sqrt[3]{x} — 2 = 0.$$

Пусть $y = \sqrt[3]{x}$, тогда получаем:

$$y^2 — y — 2 = 0.$$

Шаг 5: Решение квадратного уравнения

Теперь решаем квадратное уравнение:

$$y^2 — y — 2 = 0.$$

Вычислим дискриминант:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9.$$

Найдем корни:

$$y_1 = \frac{-(-1) — \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 — 3}{2} = -1,$$ $$y_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 3}{2} = 2.$$

Шаг 6: Находим значения $x$

Теперь, используя $y = \sqrt[3]{x}$, найдем $x$:

Для $y_1 = -1$:

$$\sqrt[3]{x} = -1 \quad \Rightarrow \quad x = (-1)^3 = -1.$$

Для $y_2 = 2$:

$$\sqrt[3]{x} = 2 \quad \Rightarrow \quad x = 2^3 = 8.$$

Шаг 7: Выражение имеет смысл при

Выражение имеет смысл при $x \ne \pm 1$.

Ответ:

$$x = 8.$$

б)

$$\frac{x + 8}{\sqrt[3]{x} + 2} + \frac{\sqrt[3]{x^2} — 25}{\sqrt[3]{x} + 5} = 5.$$

Шаг 1: Разложим выражение

Для упрощения начнем с разложения числителей. Применим разложение на множители для каждого выражения.

Первое выражение:

$$\frac{x + 8}{\sqrt[3]{x} + 2}.$$

Можно записать $x + 8$ как $(\sqrt[3]{x} + 2)(\sqrt[3]{x^2} — 2\sqrt[3]{x} + 4)$, что даст:

$$\frac{(\sqrt[3]{x} + 2)(\sqrt[3]{x^2} — 2\sqrt[3]{x} + 4)}{\sqrt[3]{x} + 2}.$$

Сократим $\sqrt[3]{x} + 2$, получим:

$$\sqrt[3]{x^2} — 2\sqrt[3]{x} + 4.$$

Второе выражение:

$$\frac{\sqrt[3]{x^2} — 25}{\sqrt[3]{x} + 5}.$$

Это можно разложить, применив разность квадратов:

$$\frac{(\sqrt[3]{x} — 5)(\sqrt[3]{x} + 5)}{\sqrt[3]{x} + 5}.$$

Сократим $\sqrt[3]{x} + 5$, получим:

$$\sqrt[3]{x} — 5.$$

Шаг 2: Объединим выражения

Теперь у нас есть:

$$(\sqrt[3]{x^2} — 2\sqrt[3]{x} + 4) + (\sqrt[3]{x} — 5) = 5.$$

Шаг 3: Упростим

Упростим левую часть:

$$\sqrt[3]{x^2} — 2\sqrt[3]{x} + 4 + \sqrt[3]{x} — 5 = 5,$$ $$\sqrt[3]{x^2} — \sqrt[3]{x} — 1 = 5.$$

Это дает уравнение:

$$\sqrt[3]{x^2} — \sqrt[3]{x} — 6 = 0.$$

Шаг 4: Пусть $y = \sqrt[3]{x}$

Пусть $y = \sqrt[3]{x}$, тогда:

$$y^2 — y — 6 = 0.$$

Шаг 5: Решим квадратное уравнение

Вычислим дискриминант:

$$D = (-1)^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25.$$

Найдем корни:

$$y_1 = \frac{1 — 5}{2} = -2 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{1 + 5}{2} = 3.$$

Шаг 6: Находим значения $x$

Для $y_1 = -2$:

$$\sqrt[3]{x} = -2 \quad \Rightarrow \quad x = (-2)^3 = -8.$$

Для $y_2 = 3$:

$$\sqrt[3]{x} = 3 \quad \Rightarrow \quad x = 3^3 = 27.$$

Шаг 7: Выражение имеет смысл при

Выражение имеет смысл при $x_1 \ne -8$ и $x_2 \ne -125$.

Ответ:

$$x=27.$$