ГДЗ 10-11 Класс Номер 36.5 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $\sqrt{75t^4{r}^3}$

б) $\frac{x^2}{b}\cdot \sqrt[3]{\frac{72a^4{b}^3}{343x^3}}$

в) $\sqrt[3]{250x^4{y}^7}$

г) $3mn\sqrt[4]{\frac{80x^3}{243m^5{n}^9}}$

Вынести множитель из-под знака корня, считая, что переменные принимают только неотрицательные значения:

а) $\sqrt{75t^4r^3} = \sqrt{25 \cdot t^2 \cdot t^2 \cdot r^2 \cdot 3r} = 5t^2r \cdot \sqrt{3r}$;
Ответ: $5t^2r \cdot \sqrt{3r}$.

б) $\frac{x^2}{b} \cdot \sqrt[3]{\frac{72a^4b^3}{343x^3}} = \frac{x^2}{b} \cdot \sqrt[3]{\frac{8 \cdot a^3 \cdot b^3 \cdot 9a}{343 \cdot x^3}} = \frac{x^2}{b} \cdot \frac{2ab}{7x} \cdot \sqrt[3]{9a} = \frac{2ax}{7} \cdot \sqrt[3]{9a}$;
Ответ: $\frac{2ax}{7} \cdot \sqrt[3]{9a}$.

в) $\sqrt[3]{250x^4y^7} = \sqrt[3]{125 \cdot x^3 \cdot y^3 \cdot 2xy} = 5xy^2 \cdot \sqrt[3]{2xy}$;
Ответ: $5xy^2 \cdot \sqrt[3]{2xy}$.

г) $3mn \sqrt[4]{\frac{80x^3}{243m^5n^9}} = 3mn \cdot \sqrt[4]{\frac{16 \cdot 5x^3}{81 \cdot m^4 \cdot n^8 \cdot 3mn}} = \frac{3mn \cdot 2}{3mn^2} \cdot \sqrt[4]{\frac{5x^3}{3mn}} = \frac{2}{n} \cdot \sqrt[4]{\frac{5x^3}{3mn}}$;
Ответ: $\frac{2}{n} \cdot \sqrt[4]{\frac{5x^3}{3mn}}$.

а) $\sqrt{75t^4r^3}$

Шаг 1: Разложим числовые и буквенные множители:

$$75t^4r^3 = 25 \cdot 3 \cdot t^2 \cdot t^2 \cdot r^2 \cdot r$$

Шаг 2: Группируем под корнем:

$$\sqrt{75t^4r^3} = \sqrt{25 \cdot t^2 \cdot t^2 \cdot r^2 \cdot 3r}$$

Шаг 3: Применяем свойства корня:

$$= \sqrt{25} \cdot \sqrt{t^2} \cdot \sqrt{t^2} \cdot \sqrt{r^2} \cdot \sqrt{3r}$$

Шаг 4: Извлекаем корни:

$$= 5 \cdot t \cdot t \cdot r \cdot \sqrt{3r} = 5t^2r \cdot \sqrt{3r}$$

Ответ: $\boxed{5t^2r \cdot \sqrt{3r}}$

б) $\dfrac{x^2}{b} \cdot \sqrt[3]{\dfrac{72a^4b^3}{343x^3}}$

Шаг 1: Разложим числитель и знаменатель:

$$72a^4b^3 = 8 \cdot 9a \cdot a^3 \cdot b^3, \quad 343x^3 = 7^3 \cdot x^3$$

Значит:

$$\sqrt[3]{\dfrac{72a^4b^3}{343x^3}} = \sqrt[3]{\dfrac{8a^3b^3 \cdot 9a}{7^3x^3}}$$

Шаг 2: Выносим корни:

$$\sqrt[3]{\dfrac{8a^3b^3}{7^3x^3} \cdot 9a} = \dfrac{2ab}{7x} \cdot \sqrt[3]{9a}$$

Шаг 3: Умножаем на передний множитель:

$$\dfrac{x^2}{b} \cdot \dfrac{2ab}{7x} \cdot \sqrt[3]{9a} = \dfrac{2ax}{7} \cdot \sqrt[3]{9a}$$

Ответ: $\boxed{\dfrac{2ax}{7} \cdot \sqrt[3]{9a}}$

в) $\sqrt[3]{250x^4y^7}$

Шаг 1: Разложим на множители:

$$250 = 125 \cdot 2, \quad x^4 = x^3 \cdot x, \quad y^7 = y^3 \cdot y^3 \cdot y$$ $$\Rightarrow \sqrt[3]{250x^4y^7} = \sqrt[3]{125 \cdot x^3 \cdot y^3 \cdot 2xy}$$

Шаг 2: Применяем свойства корней:

$$= \sqrt[3]{125} \cdot \sqrt[3]{x^3} \cdot \sqrt[3]{y^3} \cdot \sqrt[3]{2xy} = 5xy \cdot \sqrt[3]{2xy}$$

Шаг 3: Упрощаем:

$$5xy \cdot \sqrt[3]{2xy} = 5xy^2 \cdot \sqrt[3]{2xy} \quad \text{(внутри осталось ещё одно } y \text{ из } y^7\text{)}$$

Ответ: $\boxed{5xy^2 \cdot \sqrt[3]{2xy}}$

г) $3mn \cdot \sqrt[4]{\dfrac{80x^3}{243m^5n^9}}$

Шаг 1: Разложим числитель и знаменатель:

• $80 = 16 \cdot 5$
• $243 = 81 \cdot 3 = 3^5$
• $m^5 = m^4 \cdot m$
• $n^9 = n^8 \cdot n$

$$\Rightarrow \sqrt[4]{\dfrac{80x^3}{243m^5n^9}} = \sqrt[4]{\dfrac{16 \cdot 5x^3}{81 \cdot m^4n^8 \cdot 3mn}}$$

Шаг 2: Извлекаем корни:

$$\sqrt[4]{\dfrac{16}{81 \cdot m^4n^8}} = \dfrac{2}{3mn^2}$$

И остается под корнем:

$$\sqrt[4]{\dfrac{5x^3}{3mn}}$$

Шаг 3: Умножаем:

$$3mn \cdot \dfrac{2}{3mn^2} \cdot \sqrt[4]{\dfrac{5x^3}{3mn}} = \dfrac{2}{n} \cdot \sqrt[4]{\dfrac{5x^3}{3mn}}$$

Ответ: $\boxed{\dfrac{2}{n} \cdot \sqrt[4]{\dfrac{5x^3}{3mn}}}$

Итоговые ответы:

а) $\boxed{5t^2r \cdot \sqrt{3r}}$
б) $\boxed{\dfrac{2ax}{7} \cdot \sqrt[3]{9a}}$
в) $\boxed{5xy^2 \cdot \sqrt[3]{2xy}}$
г) $\boxed{\dfrac{2}{n} \cdot \sqrt[4]{\dfrac{5x^3}{3mn}}}$