ГДЗ 10-11 Класс Номер 36.9 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Внесите множитель под знак корня, считая, что переменные принимают только неотрицательные значения:

а) $7a^2\cdot \sqrt{ab}$

б) $5a{b}^2\cdot \sqrt[3]{a^{2}b}$

в) $5x\sqrt{2x}$

г) $2m\sqrt[3]{3m^2}$

Внести множитель под знак корня, считая, что переменные принимают только неотрицательные значения:

а) $7a^2 \cdot \sqrt{ab} = \sqrt{(7a^2)^2 \cdot ab} = \sqrt{49a^4 \cdot ab} = \sqrt{49a^5b}$;
Ответ: $\sqrt{49a^5b}$.

б) $5ab^2 \cdot \sqrt[3]{a^2b} = \sqrt[3]{(5ab^2)^3 \cdot a^2b} = \sqrt[3]{125a^3b^6 \cdot a^2b} = \sqrt[3]{125a^5b^7}$;
Ответ: $\sqrt[3]{125a^5b^7}$.

в) $5x\sqrt{2x} = \sqrt{(5x)^2 \cdot 2x} = \sqrt{25x^2 \cdot 2x} = \sqrt{50x^3}$;
Ответ: $\sqrt{50x^3}$.

г) $2m\sqrt[3]{3m^2} = \sqrt[3]{(2m)^3 \cdot 3m^2} = \sqrt[3]{8m^3 \cdot 3m^2} = \sqrt[3]{24m^5}$;
Ответ: $\sqrt[3]{24m^5}$.

а) $7a^2 \cdot \sqrt{ab}$

Исходное выражение:

$$7a^2 \cdot \sqrt{ab}.$$

Записываем число $7a^2$ через квадратный корень:
Мы можем переписать число $7a^2$ как $7a^2 = \sqrt{(7a^2)^2}$, чтобы объединить его с корнем:

$$7a^2 \cdot \sqrt{ab} = \sqrt{(7a^2)^2} \cdot \sqrt{ab}.$$

Используем свойство корней:
Из свойства корней, что $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$, объединяем оба корня в один:

$$7a^2 \cdot \sqrt{ab} = \sqrt{(7a^2)^2 \cdot ab}.$$

Выполняем умножение под корнем:
Теперь считаем произведение:

$$(7a^2)^2 = 49a^4, \quad ab = a \cdot b.$$

Таким образом, произведение под корнем будет:

$$49a^4 \cdot ab = 49a^5b.$$

Получаем окончательное выражение:
Таким образом, выражение $7a^2 \cdot \sqrt{ab}$ преобразуется в:

$$\sqrt{49a^5b}.$$

Ответ: $\sqrt{49a^5b}$.

б) $5ab^2 \cdot \sqrt[3]{a^2b}$

Исходное выражение:

$$5ab^2 \cdot \sqrt[3]{a^2b}.$$

Записываем число $5ab^2$ через кубический корень:
Мы можем переписать число $5ab^2$ как $5ab^2 = \sqrt[3]{(5ab^2)^3}$, чтобы объединить его с кубическим корнем:

$$5ab^2 \cdot \sqrt[3]{a^2b} = \sqrt[3]{(5ab^2)^3} \cdot \sqrt[3]{a^2b}.$$

Используем свойство кубических корней:
Из свойства кубических корней, что $\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{a \cdot b}$, объединяем оба корня в один:

$$5ab^2 \cdot \sqrt[3]{a^2b} = \sqrt[3]{(5ab^2)^3 \cdot a^2b}.$$

Выполняем умножение под корнем:
Теперь считаем произведение:

$$(5ab^2)^3 = 125a^3b^6, \quad a^2b = a^2b.$$

Таким образом, произведение под корнем будет:

$$125a^3b^6 \cdot a^2b = 125a^5b^7.$$

Получаем окончательное выражение:
Таким образом, выражение $5ab^2 \cdot \sqrt[3]{a^2b}$ преобразуется в:

$$\sqrt[3]{125a^5b^7}.$$

Ответ: $\sqrt[3]{125a^5b^7}$.

в) $5x\sqrt{2x}$

Исходное выражение:

$$5x\sqrt{2x}.$$

Записываем число $5x$ через квадратный корень:
Мы можем переписать число $5x$ как $5x = \sqrt{(5x)^2}$, чтобы объединить его с корнем:

$$5x \cdot \sqrt{2x} = \sqrt{(5x)^2} \cdot \sqrt{2x}.$$

Используем свойство корней:
Из свойства корней, что $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$, объединяем оба корня в один:

$$5x \cdot \sqrt{2x} = \sqrt{(5x)^2 \cdot 2x}.$$

Выполняем умножение под корнем:
Теперь считаем произведение:

$$(5x)^2 = 25x^2, \quad 2x = 2x.$$

Таким образом, произведение под корнем будет:

$$25x^2 \cdot 2x = 50x^3.$$

Получаем окончательное выражение:
Таким образом, выражение $5x\sqrt{2x}$ преобразуется в:

$$\sqrt{50x^3}.$$

Ответ: $\sqrt{50x^3}$.

г) $2m\sqrt[3]{3m^2}$

Исходное выражение:

$$2m\sqrt[3]{3m^2}.$$

Записываем число $2m$ через кубический корень:
Мы можем переписать число $2m$ как $2m = \sqrt[3]{(2m)^3}$, чтобы объединить его с кубическим корнем:

$$2m \cdot \sqrt[3]{3m^2} = \sqrt[3]{(2m)^3} \cdot \sqrt[3]{3m^2}.$$

Используем свойство кубических корней:
Из свойства кубических корней, что $\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{a \cdot b}$, объединяем оба корня в один:

$$2m \cdot \sqrt[3]{3m^2} = \sqrt[3]{(2m)^3 \cdot 3m^2}.$$

Выполняем умножение под корнем:
Теперь считаем произведение:

$$(2m)^3 = 8m^3, \quad 3m^2 = 3m^2.$$

Таким образом, произведение под корнем будет:

$$8m^3 \cdot 3m^2 = 24m^5.$$

Получаем окончательное выражение:
Таким образом, выражение $2m\sqrt[3]{3m^2}$ преобразуется в:

$$\sqrt[3]{24m^5}.$$

Ответ: $\sqrt[3]{24m^5}$.