ГДЗ 10-11 Класс Номер 37.1 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Представьте степень с дробным показателем в виде корня:

а) $c^{\frac{3}{4}}$

б) $p^{5\frac{1}{2}}$

в) $x^{\frac{3}{4}}$

г) $y^{2\frac{2}{3}}$

Представить степень с дробным показателем в виде корня:

а) $c^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{c^3}$;
Ответ: $\sqrt[4]{c^3}$.

б) $p^{5\frac{1}{2}} = p^{\frac{5\cdot2+1}{2}} = p^{\frac{11}{2}} = \sqrt{p^{11}}$;
Ответ: $\sqrt{p^{11}}$.

в) $x^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{x^3}$;
Ответ: $\sqrt[4]{x^3}$.

г) $y^{2\frac{2}{3}} = y^{\frac{2\cdot3+2}{3}} = y^{\frac{8}{3}} = \sqrt[3]{y^8}$;
Ответ: $\sqrt[3]{y^8}$.

а) $c^{\frac{3}{4}}$

Шаг 1: Анализ дробного показателя

Степень с дробным показателем можно интерпретировать как корень. В случае дробного показателя $\frac{3}{4}$, числитель $3$ — это степень, а знаменатель $4$ — это степень корня. То есть, $c^{\frac{3}{4}}$ означает: взять 4-й корень из $c^3$.

Шаг 2: Преобразуем степень в корень

По правилу, что степень с дробным показателем $\frac{m}{n}$ эквивалентна $\sqrt[n]{c^m}$, получаем:

$$c^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{c^3}.$$

Ответ:

$$\sqrt[4]{c^3}.$$

б) $p^{5\frac{1}{2}}$

Шаг 1: Преобразование дробного показателя

Запишем выражение $p^{5\frac{1}{2}}$ в виде неправильной дроби:

$$5\frac{1}{2} = \frac{5 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{11}{2}.$$

Теперь у нас есть степень $p^{\frac{11}{2}}$, и согласно правилам преобразования степени с дробным показателем, числитель $11$ — это степень, а знаменатель $2$ — это показатель корня.

Шаг 2: Преобразуем степень в корень

Степень $\frac{11}{2}$ эквивалентна $\sqrt{p^{11}}$. Таким образом:

$$p^{\frac{11}{2}} = \sqrt{p^{11}}.$$

Ответ:

$$\sqrt{p^{11}}.$$

в) $x^{\frac{3}{4}}$

Шаг 1: Анализ дробного показателя

Показатель степени $\frac{3}{4}$ аналогичен случаю из пункта а), и мы снова имеем дробный показатель, где числитель $3$ — это степень, а знаменатель $4$ — это показатель корня.

Шаг 2: Преобразуем степень в корень

Применяя те же правила преобразования, что и в пункте а), получаем:

$$x^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{x^3}.$$

Ответ:

$$\sqrt[4]{x^3}.$$

г) $y^{2\frac{2}{3}}$

Шаг 1: Преобразование дробного показателя

Запишем $y^{2\frac{2}{3}}$ в виде неправильной дроби:

$$2\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{8}{3}.$$

Таким образом, у нас есть степень $y^{\frac{8}{3}}$. Согласно правилам преобразования степени с дробным показателем, числитель $8$ — это степень, а знаменатель $3$ — это показатель корня.

Шаг 2: Преобразуем степень в корень

По формуле преобразования степени с дробным показателем:

$$y^{\frac{8}{3}} = \sqrt[3]{y^8}.$$

Ответ:

$$\sqrt[3]{y^8}\mathrm{.}$$