ГДЗ 10-11 Класс Номер 37.10 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $\frac{5^4\cdot {49}^{-3}}{7^{-7}\cdot {25}^3}$

б) $\frac{{81}^{12}\cdot {10}^{-7}}{{10}^{-5}\cdot {27}^{17}}$

Вычислить значение:

а) $\frac{5^4 \cdot 49^{-3}}{7^{-7} \cdot 25^3} = \frac{5^4 \cdot (7^2)^{-3}}{7^{-7} \cdot (5^2)^3} = \frac{5^4 \cdot 7^{-6}}{7^{-7} \cdot 5^6} = \frac{7^7}{7^6 \cdot 5^2} = \frac{7}{5^2} = \frac{7}{25}$;

Ответ: $\frac{7}{25}$.

б) $\frac{81^{12} \cdot 10^{-7}}{10^{-5} \cdot 27^{17}} = \frac{(3^4)^{12} \cdot 10^5}{10^7 \cdot (3^3)^{17}} = \frac{3^{48}}{10^2 \cdot 3^{51}} = \frac{1}{10^2 \cdot 3^3} = \frac{1}{100 \cdot 27} = \frac{1}{2700}$;

Ответ: $\frac{1}{2700}$.

а) $\frac{5^4 \cdot 49^{-3}}{7^{-7} \cdot 25^3} = \frac{5^4 \cdot (7^2)^{-3}}{7^{-7} \cdot (5^2)^3} = \frac{5^4 \cdot 7^{-6}}{7^{-7} \cdot 5^6} = \frac{7^7}{7^6 \cdot 5^2} = \frac{7}{5^2} = \frac{7}{25}$

Шаг 1: Раскрытие степени для $49^{-3}$ и $25^3$

$49 = 7^2$, значит $49^{-3} = (7^2)^{-3} = 7^{-6}$.

$25 = 5^2$, значит $25^3 = (5^2)^3 = 5^6$.

Теперь подставим эти преобразования в исходное выражение:

$$\frac{5^4 \cdot (7^2)^{-3}}{7^{-7} \cdot (5^2)^3} = \frac{5^4 \cdot 7^{-6}}{7^{-7} \cdot 5^6}.$$

Шаг 2: Применение свойств степеней

Произведение степеней с одинаковыми основаниями:

$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}.$$

Таким образом, $5^4 \cdot 5^{-6} = 5^{4 + (-6)} = 5^{-2}$ и $7^{-6} \cdot 7^7 = 7^{-6 + 7} = 7^1$.

Подставим это в выражение:

$$\frac{5^{-2} \cdot 7^{-6}}{7^{-7} \cdot 5^6} = \frac{7^1}{5^2}.$$

Шаг 3: Преобразование выражения

Мы пришли к выражению:

$$\frac{7^1}{5^2} = \frac{7}{25}.$$

Ответ: $\frac{7}{25}$.

б) $\frac{81^{12} \cdot 10^{-7}}{10^{-5} \cdot 27^{17}} = \frac{(3^4)^{12} \cdot 10^5}{10^7 \cdot (3^3)^{17}} = \frac{3^{48}}{10^2 \cdot 3^{51}} = \frac{1}{10^2 \cdot 3^3} = \frac{1}{100 \cdot 27} = \frac{1}{2700}$

Шаг 1: Раскрытие степени для $81^{12}$ и $27^{17}$

$81 = 3^4$, поэтому $81^{12} = (3^4)^{12} = 3^{48}$.

$27 = 3^3$, поэтому $27^{17} = (3^3)^{17} = 3^{51}$.

Теперь подставим это в исходное выражение:

$$\frac{81^{12} \cdot 10^{-7}}{10^{-5} \cdot 27^{17}} = \frac{(3^4)^{12} \cdot 10^5}{10^7 \cdot (3^3)^{17}} = \frac{3^{48} \cdot 10^5}{10^7 \cdot 3^{51}}.$$

Шаг 2: Применение свойств степеней

Произведение степеней с одинаковыми основаниями:

• $3^{48} \cdot 3^{-51} = 3^{48 — 51} = 3^{-3}$.

Подставим это в выражение:

$$\frac{3^{-3} \cdot 10^5}{10^7} = \frac{3^{-3}}{10^2} = \frac{1}{10^2 \cdot 3^3}.$$

Шаг 3: Вычисление

$10^2 = 100$, а $3^3 = 27$, следовательно:

$$\frac{1}{10^2 \cdot 3^3} = \frac{1}{100 \cdot 27} = \frac{1}{2700}.$$

Ответ: $\frac{1}{2700}$.

Ответы:

а) $\frac{7}{25}$

б) $\frac{1}{2700}$