ГДЗ 10-11 Класс Номер 37.11 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Представьте заданное выражение в виде степени с рациональным показателем:

а) $\sqrt{b^{-1}}$

б) $\sqrt[12]{b^{-5}}$

в) $\frac{1}{\sqrt[4]{x^{-3}}}$

г) $\frac{1}{\sqrt[3]{a^{-2}}}$

Представить заданное выражение в виде степени с рациональным показателем:

а) $\sqrt{b^{-1}} = b^{-\frac{1}{2}} = b^{-0.5}$;
Ответ: $b^{-0.5}$.

б) $\sqrt[12]{b^{-5}} = b^{-\frac{5}{12}} = b^{-\frac{5}{12}}$;
Ответ: $b^{-\frac{5}{12}}$.

в) $\frac{1}{\sqrt[4]{x^{-3}}} = \frac{1}{x^{-\frac{3}{4}}} = x^{\frac{3}{4}} = x^{0.75}$;
Ответ: $x^{0.75}$.

г) $\frac{1}{\sqrt[3]{a^{-2}}} = \frac{1}{a^{-\frac{2}{3}}} = a^{\frac{2}{3}}$;
Ответ: $a^{\frac{2}{3}}$.

В данном задании нам нужно представить корни в виде степеней с рациональными показателями. Для этого используется основное правило преобразования корней в степени:

$$\sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}.$$

Также важно помнить, что для отрицательных показателей степени действуют следующие правила:

• $x^{-m} = \frac{1}{x^m}$.
• Степени с рациональными показателями могут быть преобразованы в дробные степени, где числитель — это степень выражения, а знаменатель — это индекс корня.

Теперь перейдем к подробному разбору каждого выражения.

а) $\sqrt{b^{-1}} = b^{-\frac{1}{2}} = b^{-0.5}$

Шаг 1. Преобразуем квадратный корень в степень.

• Исходное выражение — это квадратный корень из $b^{-1}$. В соответствии с вышеуказанным правилом для извлечения квадратного корня, можно записать его как степень с рациональным показателем:

$$\sqrt{b^{-1}} = b^{-\frac{1}{2}}.$$

Шаг 2. Запишем в десятичной форме.

• Рациональный показатель $-\frac{1}{2}$ можно записать в десятичной форме как $-0.5$.

$$b^{-\frac{1}{2}} = b^{-0.5}.$$

Ответ: $b^{-0.5}$.

б) $\sqrt[12]{b^{-5}} = b^{-\frac{5}{12}} = b^{-\frac{5}{12}}$

Шаг 1. Преобразуем 12-й корень в степень.

• В этом выражении извлекается 12-й корень из $b^{-5}$. Согласно правилу извлечения корня, это эквивалентно возведению в степень $\frac{1}{12}$:

$$\sqrt[12]{b^{-5}} = b^{-\frac{5}{12}}.$$

Шаг 2. Проверка и упрощение.

• Выражение $b^{-\frac{5}{12}}$ уже записано в нужной форме, и дополнительного упрощения не требуется.

Ответ: $b^{-\frac{5}{12}}$.

в) $\frac{1}{\sqrt[4]{x^{-3}}} = \frac{1}{x^{-\frac{3}{4}}} = x^{\frac{3}{4}} = x^{0.75}$

Шаг 1. Преобразуем 4-й корень в степень.

• Начнем с того, что извлекается 4-й корень из $x^{-3}$. Согласно правилам, 4-й корень можно записать как степень с показателем $\frac{1}{4}$:

$$\sqrt[4]{x^{-3}} = x^{-\frac{3}{4}}.$$

Шаг 2. Умножение на 1.

• Мы видим, что на 1 делится выражение, поэтому мы получаем:

$$\frac{1}{x^{-\frac{3}{4}}} = x^{\frac{3}{4}}.$$

Шаг 3. Переводим в десятичную форму.

• $\frac{3}{4}$ можно записать как десятичную дробь $0.75$, то есть:

$$x^{\frac{3}{4}} = x^{0.75}.$$

Ответ: $x^{0.75}$.

г) $\frac{1}{\sqrt[3]{a^{-2}}} = \frac{1}{a^{-\frac{2}{3}}} = a^{\frac{2}{3}}$

Шаг 1. Преобразуем 3-й корень в степень.

• Извлекается 3-й корень из $a^{-2}$. Согласно правилам, 3-й корень можно записать как степень с показателем $\frac{1}{3}$:

$$\sqrt[3]{a^{-2}} = a^{-\frac{2}{3}}.$$

Шаг 2. Умножение на 1.

• Деление на $a^{-\frac{2}{3}}$ эквивалентно умножению на $a^{\frac{2}{3}}$:

$$\frac{1}{a^{-\frac{2}{3}}} = a^{\frac{2}{3}}.$$

Ответ: $a^{\frac{2}{3}}$.

Ответы:

а) $b^{-0.5}$

б) $b^{-\frac{5}{12}}$

в) $x^{0.75}$

г) $a^{\frac{2}{3}}$