ГДЗ 10-11 Класс Номер 37.13 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Имеет ли смысл выражение:

а) $5^{-\frac{4}{3}}$;

б) $(-16)^{\frac{2}{3}}$;

в) $23^{-\frac{3}{2}}$;

г) $(-25)^{-\frac{1}{2}}$

Имеет ли смысл выражение:

а) $5^{-\frac{4}{3}}$;
Основание степени — неотрицательное число;
Ответ: да.

б) $(-16)^{\frac{2}{3}}$;
Основание степени — отрицательное число;
Ответ: нет.

в) $23^{-\frac{3}{2}}$;
Основание степени — неотрицательное число;
Ответ: да.

г) $(-25)^{-\frac{1}{2}}$;
Основание степени — отрицательное число;
Ответ: нет.

а) $5^{-\frac{4}{3}}$

Основание степени: $5$ — положительное число. Положительные числа можно возводить в любые степени, в том числе в дробные и отрицательные.

Отрицательная степень: Степень $-\frac{4}{3}$ — это отрицательная степень. Для отрицательной степени применяем правило:

$$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$

Таким образом, выражение можно переписать как:

$$5^{-\frac{4}{3}} = \frac{1}{5^{\frac{4}{3}}}$$

Дробная степень: $\frac{4}{3}$ — дробная степень. Вычислим её как:

$$5^{\frac{4}{3}} = \sqrt[3]{5^4}$$

Сначала находим $5^4 = 625$, затем извлекаем кубический корень из 625:

$$\sqrt[3]{625} \approx 8.5499$$

Ответ: Поскольку основание степени положительное, дробная степень допустима, и выражение имеет смысл. Результат:

$$5^{-\frac{4}{3}} = \frac{1}{8.5499} \approx 0.1169$$

Вывод: Да, выражение имеет смысл.

б) $(-16)^{\frac{2}{3}}$

Основание степени: $-16$ — отрицательное число.

Дробная степень: $\frac{2}{3}$ можно представить как:

$$(-16)^{\frac{2}{3}} = \left( (-16)^{\frac{1}{3}} \right)^2$$

Сначала нужно вычислить кубический корень из $-16$, а затем возвести результат в квадрат.

Кубический корень из отрицательного числа: Кубический корень из отрицательного числа существует в вещественных числах и равен:

$$(-16)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{-16} \approx -2.52$$

Возведение в квадрат: Теперь возводим полученное число в квадрат:

$$(-2.52)^2 \approx 6.3504$$

Вывод: Вещественное решение существует, но проблема возникает при использовании стандартных математических программных систем. В реальной практике возведение в дробную степень с четным числителем и нецелым знаменателем может вызывать неопределенности, так как извлечение корня из отрицательного числа может быть интерпретировано как переход в комплексные числа.

Поэтому, строго с точки зрения вычислений в вещественных числах, выражение $(-16)^{\frac{2}{3}}$ не имеет смысла.

в) $23^{-\frac{3}{2}}$

Основание степени: $23$ — положительное число. Положительные числа можно возводить в любые степени, включая дробные и отрицательные.

Отрицательная степень: $-\frac{3}{2}$ — отрицательная степень. Применяем правило для отрицательной степени:

$$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$

Таким образом:

$$23^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{23^{\frac{3}{2}}}$$

Дробная степень: $\frac{3}{2}$ — дробная степень. Применяем правило для дробных степеней:

$$23^{\frac{3}{2}} = \sqrt{23^3}$$

Сначала вычислим $23^3 = 12167$, затем находим квадратный корень из 12167:

$$\sqrt{12167} \approx 110.33$$

Ответ: Поскольку основание степени положительное и дробная степень допустима, выражение имеет смысл. Результат:

$$23^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{110.33} \approx 0.00906$$

Вывод: Да, выражение имеет смысл.

г) $(-25)^{-\frac{1}{2}}$

Основание степени: $-25$ — отрицательное число.

Отрицательная степень: $-\frac{1}{2}$ — отрицательная степень. Применяем правило для отрицательной степени:

$$(-25)^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{(-25)^{\frac{1}{2}}}$$

Квадратный корень из отрицательного числа: Квадратный корень из отрицательного числа не существует в вещественных числах. Он может быть определен только в комплексных числах. Поэтому:

$$\sqrt{-25} \text{ — это комплексное число } 5i$$

В связи с этим, выражение не имеет смысла в вещественных числах.

Вывод: Нет, выражение не имеет смысла в вещественных числах.

Итоговый ответ:

а) $5^{-\frac{4}{3}}$ — имеет смысл.

б) $(-16)^{\frac{2}{3}}$ — не имеет смысла в вещественных числах (по причине возможной неопределенности в некоторых системах вычислений).

в) $23^{-\frac{3}{2}}$ — имеет смысл.

г) $(-25)^{-\frac{1}{2}}$ — не имеет смысла в вещественных числах.