ГДЗ 10-11 Класс Номер 37.14 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Сравните:

а) $2^{\frac{1}{2}}$ и $3^{\frac{1}{2}}$;

б) $0,3^{\frac{1}{2}}$ и $0,5^{\frac{1}{2}}$;

в) $5^{\frac{1}{3}}$ и $5^{\frac{1}{3}}$;

г) $7^{\frac{1}{3}}$ и $7^{\frac{2}{6}}$

Сравнить числа:

а) $2^{\frac{1}{2}}$ и $3^{\frac{1}{2}}$;
$2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$;
$3^{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$;
Ответ: $2^{\frac{1}{2}} < 3^{\frac{1}{2}}$.

б) $0,3^{\frac{1}{2}}$ и $0,5^{\frac{1}{2}}$;
$0,3^{\frac{1}{2}} = \sqrt{0,3}$;
$0,5^{\frac{1}{2}} = \sqrt{0,5}$;
Ответ: $0,3^{\frac{1}{2}} < 0,5^{\frac{1}{2}}$.

в) $5^{\frac{1}{3}}$ и $5^{\frac{1}{3}}$;
$5^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{5} = \sqrt[6]{125}$;
$5^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{5} = \sqrt[6]{25}$;
Ответ: $5^{\frac{1}{3}} = 5^{\frac{1}{3}}$.

г) $7^{\frac{1}{3}}$ и $7^{\frac{2}{6}}$;
$7^{\frac{2}{6}} = 7^{\frac{1}{3}}$;
Ответ: $7^{\frac{1}{3}} = 7^{\frac{2}{6}}$.

а) $2^{\frac{1}{2}}$ и $3^{\frac{1}{2}}$

Шаг 1: Понимание выражений

Выражения $2^{\frac{1}{2}}$ и $3^{\frac{1}{2}}$ обозначают квадратные корни из чисел 2 и 3:

$$2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2} \quad \text{и} \quad 3^{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$$

Шаг 2: Вычисление значений

Теперь вычислим квадратные корни из 2 и 3:

• $\sqrt{2} \approx 1.414$
• $\sqrt{3} \approx 1.732$

Шаг 3: Сравнение значений

Сравнив полученные значения, видим:

$$1.414 < 1.732$$

Таким образом:

$$2^{\frac{1}{2}} < 3^{\frac{1}{2}}$$

Ответ: $2^{\frac{1}{2}} < 3^{\frac{1}{2}}$

б) $0,3^{\frac{1}{2}}$ и $0,5^{\frac{1}{2}}$

Шаг 1: Понимание выражений

Выражения $0,3^{\frac{1}{2}}$ и $0,5^{\frac{1}{2}}$ обозначают квадратные корни из десятичных чисел 0,3 и 0,5:

$$0,3^{\frac{1}{2}} = \sqrt{0,3} \quad \text{и} \quad 0,5^{\frac{1}{2}} = \sqrt{0,5}$$

Шаг 2: Вычисление значений

Теперь вычислим квадратные корни из 0,3 и 0,5:

• $\sqrt{0,3} \approx 0,5477$
• $\sqrt{0,5} \approx 0,7071$

Шаг 3: Сравнение значений

Сравнив полученные значения, видим:

$$0,5477 < 0,7071$$

Таким образом:

$$0,3^{\frac{1}{2}} < 0,5^{\frac{1}{2}}$$

Ответ: $0,3^{\frac{1}{2}} < 0,5^{\frac{1}{2}}$

в) $5^{\frac{1}{3}}$ и $5^{\frac{1}{3}}$

Шаг 1: Понимание выражений

Здесь мы сравниваем два одинаковых выражения:

$$5^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{5}$$

Поскольку оба выражения одинаковые, их значения будут равны.

Шаг 2: Вычисление значений

Вычислим кубический корень из 5:

$$\sqrt[3]{5} \approx 1.710$$

Шаг 3: Сравнение значений

Очевидно, что два одинаковых числа всегда равны:

$$5^{\frac{1}{3}} = 5^{\frac{1}{3}}$$

Ответ: $5^{\frac{1}{3}} = 5^{\frac{1}{3}}$

г) $7^{\frac{1}{3}}$ и $7^{\frac{2}{6}}$

Шаг 1: Понимание выражений

Обратите внимание, что $\frac{2}{6}$ можно упростить до $\frac{1}{3}$. То есть:

$$7^{\frac{2}{6}} = 7^{\frac{1}{3}}$$

Таким образом, оба выражения эквивалентны.

Шаг 2: Вычисление значений

Так как оба выражения равны, мы можем вычислить только одно:

$$7^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{7} \approx 1.913$$

Шаг 3: Сравнение значений

Так как выражения эквивалентны, то они равны:

$$7^{\frac{1}{3}} = 7^{\frac{2}{6}}$$

Ответ: $7^{\frac{1}{3}} = 7^{\frac{2}{6}}$

Итоговые ответы:

а) $2^{\frac{1}{2}} < 3^{\frac{1}{2}}$

б) $0,3^{\frac{1}{2}} < 0,5^{\frac{1}{2}}$

в) $5^{\frac{1}{3}} = 5^{\frac{1}{3}}$

г) $7^{\frac{1}{3}} = 7^{\frac{2}{6}}$