ГДЗ 10-11 Класс Номер 37.15 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Упростите выражение:

а) $c^{\frac{1}{2}}\cdot c^{\frac{1}{3}}$

б) $b^{-\frac{1}{3}}\cdot b^{\frac{1}{2}}$

в) $a^{\frac{2}{3}}\cdot a^{-\frac{1}{6}}$

г) $d^5\cdot d^{\frac{1}{2}}$

Упростить выражение:

а) $c^{\frac{1}{2}} \cdot c^{\frac{1}{3}} = c^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}} = c^{\frac{3+2}{6}} = c^{\frac{5}{6}} = \sqrt[6]{c^5}$;
Ответ: $\sqrt[6]{c^5}$.

б) $b^{-\frac{1}{3}} \cdot b^{\frac{1}{2}} = b^{-\frac{1}{3} + \frac{1}{2}} = b^{\frac{-2+3}{6}} = b^{\frac{1}{6}} = \sqrt[6]{b}$;
Ответ: $\sqrt[6]{b}$.

в) $a^{\frac{2}{3}} \cdot a^{-\frac{1}{6}} = a^{\frac{2}{3} — \frac{1}{6}} = a^{\frac{2 \cdot 2 — 1}{6}} = a^{\frac{3}{6}} = a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}$;
Ответ: $\sqrt{a}$.

г) $d^5 \cdot d^{\frac{1}{2}} = d^{5 + \frac{1}{2}} = d^{\frac{5 \cdot 2 + 1}{2}} = d^{\frac{11}{2}} = \sqrt{d^{11}}$;
Ответ: $\sqrt{d^{11}}$.

а) $c^{\frac{1}{2}} \cdot c^{\frac{1}{3}}$

Шаг 1: Правило умножения степеней с одинаковым основанием

Когда мы умножаем два числа с одинаковым основанием, степени складываются. Это следует из свойства степеней:

$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$

В нашем случае, основание — это $c$, а степени — $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{3}$.

Шаг 2: Применяем правило сложения степеней

Сложим степени:

$$c^{\frac{1}{2}} \cdot c^{\frac{1}{3}} = c^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}$$

Теперь нужно сложить дроби $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{3}$.

Шаг 3: Сложение дробей

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для 2 и 3 — это 6. Преобразуем дроби:

$$\frac{1}{2} = \frac{3}{6}, \quad \frac{1}{3} = \frac{2}{6}$$

Теперь сложим дроби:

$$\frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$$

Таким образом, степень будет равна $\frac{5}{6}$.

Шаг 4: Записываем итоговое выражение

Подставляем полученную степень:

$$c^{\frac{1}{2}} \cdot c^{\frac{1}{3}} = c^{\frac{5}{6}}$$

Шаг 5: Преобразование в корень

Степень $\frac{5}{6}$ может быть записана как корень:

$$c^{\frac{5}{6}} = \sqrt[6]{c^5}$$

Здесь мы использовали, что $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$.

Ответ: $\sqrt[6]{c^5}$

б) $b^{-\frac{1}{3}} \cdot b^{\frac{1}{2}}$

Шаг 1: Применяем правило умножения степеней

Как и в предыдущем примере, мы используем правило для умножения степеней с одинаковым основанием:

$$b^{-\frac{1}{3}} \cdot b^{\frac{1}{2}} = b^{-\frac{1}{3} + \frac{1}{2}}$$

Шаг 2: Сложение дробей

Теперь сложим степени $-\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{2}$. Для этого снова приведем дроби к общему знаменателю:

$$-\frac{1}{3} = \frac{-2}{6}, \quad \frac{1}{2} = \frac{3}{6}$$

Теперь сложим дроби:

$$\frac{-2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{1}{6}$$

Таким образом, степень будет равна $\frac{1}{6}$.

Шаг 3: Записываем итоговое выражение

Подставляем полученную степень:

$$b^{-\frac{1}{3}} \cdot b^{\frac{1}{2}} = b^{\frac{1}{6}}$$

Шаг 4: Преобразование в корень

Записываем степень $\frac{1}{6}$ как корень:

$$b^{\frac{1}{6}} = \sqrt[6]{b}$$

Ответ: $\sqrt[6]{b}$

в) $a^{\frac{2}{3}} \cdot a^{-\frac{1}{6}}$

Шаг 1: Применяем правило умножения степеней

Для умножения степеней с одинаковым основанием снова применяем правило:

$$a^{\frac{2}{3}} \cdot a^{-\frac{1}{6}} = a^{\frac{2}{3} — \frac{1}{6}}$$

Шаг 2: Вычитание дробей

Теперь нужно вычесть дроби $\frac{2}{3}$ и $\frac{1}{6}$. Для этого приводим дроби к общему знаменателю:

$$\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$$

Теперь вычитаем дроби:

$$\frac{4}{6} — \frac{1}{6} = \frac{3}{6}$$

Таким образом, степень будет равна $\frac{3}{6}$.

Шаг 3: Упрощение степени

Сокращаем дробь $\frac{3}{6}$ до $\frac{1}{2}$:

$$a^{\frac{3}{6}} = a^{\frac{1}{2}}$$

Шаг 4: Преобразование в корень

Записываем степень $\frac{1}{2}$ как корень:

$$a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}$$

Ответ: $\sqrt{a}$

г) $d^5 \cdot d^{\frac{1}{2}}$

Шаг 1: Применяем правило умножения степеней

Для умножения степеней с одинаковым основанием применяем правило:

$$d^5 \cdot d^{\frac{1}{2}} = d^{5 + \frac{1}{2}}$$

Шаг 2: Сложение дробей

Теперь нужно сложить степени $5$ и $\frac{1}{2}$. Преобразуем 5 в дробь с знаменателем 2:

$$5 = \frac{10}{2}$$

Теперь складываем дроби:

$$\frac{10}{2} + \frac{1}{2} = \frac{11}{2}$$

Таким образом, степень будет равна $\frac{11}{2}$.

Шаг 3: Преобразование в корень

Записываем степень $\frac{11}{2}$ как корень:

$$d^{\frac{11}{2}} = \sqrt{d^{11}}$$

Ответ: $\sqrt{d^{11}}$

Итоговые ответы:

а) $c^{\frac{1}{2}} \cdot c^{\frac{1}{3}} = \sqrt[6]{c^5}$

б) $b^{-\frac{1}{3}} \cdot b^{\frac{1}{2}} = \sqrt[6]{b}$

в) $a^{\frac{2}{3}} \cdot a^{-\frac{1}{6}} = \sqrt{a}$

г) $d^5 \cdot d^{\frac{1}{2}} = \sqrt{d^{11}}$