ГДЗ 10-11 Класс Номер 37.17 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) ${\left(b^{\frac{1}{2}}\right)}^{\frac{1}{3}}$

б) ${\left(c^{-\frac{1}{2}}\right)}^{\frac{1}{2}}$

в) ${\left(a^{\frac{3}{2}}\right)}^{\frac{4}{3}}$

г) ${\left(p^{-\frac{3}{4}}\right)}^{-\frac{2}{9}}$

Упростить выражение:

а) $\left(b^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{3}} = b^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}} = b^{\frac{1}{6}} = \sqrt[6]{b}$;
Ответ: $\sqrt[6]{b}$.

б) $\left(c^{-\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}} = c^{-\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}} = c^{-\frac{1}{4}} = \frac{1}{c^{\frac{1}{4}}} = \frac{1}{\sqrt[4]{c}}$;
Ответ: $\frac{1}{\sqrt[4]{c}}$.

в) $\left(a^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{4}{3}} = a^{\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3}} = a^{2}$;
Ответ: $a^{2}$.

г) $\left(p^{-\frac{3}{4}}\right)^{-\frac{2}{9}} = p^{-\frac{2}{9} \cdot \left(-\frac{3}{4}\right)} = p^{\frac{1}{6}} = \sqrt[6]{p}$;
Ответ: $\sqrt[6]{p}$.

а) $\left(b^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{3}}$

Шаг 1: Применение свойства степени

Для степеней с основаниями, мы используем правило возведения степени в степень, которое гласит:

$$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$

Это правило позволяет умножать степени. В нашем случае основание — это $b$, а степени — $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{3}$.

Шаг 2: Умножение степеней

Теперь применим это правило к нашему выражению:

$$\left(b^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{3}} = b^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}}$$

Мы умножаем дроби $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{3}$:

$$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$$

Таким образом, степень становится $\frac{1}{6}$, и получаем:

$$\left(b^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{3}} = b^{\frac{1}{6}}$$

Шаг 3: Преобразование в корень

Теперь можем записать $b^{\frac{1}{6}}$ как корень:

$$b^{\frac{1}{6}} = \sqrt[6]{b}$$

Ответ: $\sqrt[6]{b}$

б) $\left(c^{-\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}$

Шаг 1: Применение свойства степени

Как и в предыдущем случае, используем правило для возведения степени в степень:

$$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$

В данном случае основание — $c$, степени — $-\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{2}$.

Шаг 2: Умножение степеней

Применяем правило для умножения степеней:

$$\left(c^{-\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}} = c^{-\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}}$$

Умножаем дроби $-\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{2}$:

$$-\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}$$

Таким образом, степень будет равна $-\frac{1}{4}$:

$$\left(c^{-\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}} = c^{-\frac{1}{4}}$$

Шаг 3: Преобразование в дробь

Теперь преобразуем $c^{-\frac{1}{4}}$ в дробь:

$$c^{-\frac{1}{4}} = \frac{1}{c^{\frac{1}{4}}}$$

Шаг 4: Преобразование в корень

Далее записываем степень $\frac{1}{4}$ как корень:

$$c^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{c}$$

Ответ: $\frac{1}{\sqrt[4]{c}}$

в) $\left(a^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{4}{3}}$

Шаг 1: Применение свойства степени

Используем тот же принцип, что и в предыдущих примерах:

$$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$

Здесь основание — это $a$, а степени — $\frac{3}{2}$ и $\frac{4}{3}$.

Шаг 2: Умножение степеней

Применяем правило умножения степеней:

$$\left(a^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{4}{3}} = a^{\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3}}$$

Теперь умножаем дроби $\frac{3}{2}$ и $\frac{4}{3}$:

$$\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{12}{6} = 2$$

Таким образом, степень будет равна 2:

$$\left(a^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{4}{3}} = a^{2}$$

Ответ: $a^{2}$

г) $\left(p^{-\frac{3}{4}}\right)^{-\frac{2}{9}}$

Шаг 1: Применение свойства степени

Опять используем правило для возведения степени в степень:

$$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$

Здесь основание — $p$, а степени — $-\frac{3}{4}$ и $-\frac{2}{9}$.

Шаг 2: Умножение степеней

Применяем правило для умножения степеней:

$$\left(p^{-\frac{3}{4}}\right)^{-\frac{2}{9}} = p^{-\frac{3}{4} \cdot -\frac{2}{9}}$$

Теперь умножаем дроби $-\frac{3}{4}$ и $-\frac{2}{9}$:

$$-\frac{3}{4} \cdot -\frac{2}{9} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$$

Таким образом, степень будет равна $\frac{1}{6}$:

$$\left(p^{-\frac{3}{4}}\right)^{-\frac{2}{9}} = p^{\frac{1}{6}}$$

Шаг 3: Преобразование в корень

Теперь записываем степень $\frac{1}{6}$ как корень:

$$p^{\frac{1}{6}} = \sqrt[6]{p}$$

Ответ: $\sqrt[6]{p}$

Итоговые ответы:

а) $\sqrt[6]{b}$

б) $\frac{1}{\sqrt[4]{c}}$

в) $a^{2}$

г) $\sqrt[6]{p}$