ГДЗ 10-11 Класс Номер 37.18 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $x^{\frac{1}{2}}\cdot \sqrt{x}$

б) $y^{\frac{7}{3}}\cdot \sqrt[3]{y^2}$

в) $z^{\frac{3}{4}}\cdot \sqrt[4]{z}$

г) $\sqrt[4]{c^3}\cdot c^{\frac{1}{4}}$

Упростить выражение:

а) $x^{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = x^1 = x$;
Ответ: $x$.

б) $y^{\frac{7}{3}} \cdot \sqrt[3]{y^2} = y^{\frac{7}{3}} \cdot y^{\frac{2}{3}} = y^{\frac{7}{3} + \frac{2}{3}} = y^{\frac{9}{3}} = y^3$;
Ответ: $y^3$.

в) $z^{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt[4]{z} = z^{\frac{3}{4}} \cdot z^{\frac{1}{4}} = z^{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}} = z^1 = z$;
Ответ: $z$.

г) $\sqrt[4]{c^3} \cdot c^{\frac{1}{4}} = c^{\frac{3}{4}} \cdot c^{\frac{1}{4}} = c^1 = c$;
Ответ: $c$.

а) $x^{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{x}$

Шаг 1: Переводим корень в степень

Мы знаем, что $\sqrt{x}$ — это то же самое, что $x^{\frac{1}{2}}$, потому что квадратный корень из $x$ обозначается как $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$.

Шаг 2: Применяем правило умножения степеней с одинаковым основанием

Теперь у нас два одинаковых основания $x$ с степенями $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{2}$. Для умножения степеней с одинаковым основанием используется правило:

$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$

Таким образом:

$$x^{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}$$

Шаг 3: Сложение дробей

Теперь нам нужно сложить степени $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{2}$:

$$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

Таким образом, получаем:

$$x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = x^1 = x$$

Ответ: $x$

б) $y^{\frac{7}{3}} \cdot \sqrt[3]{y^2}$

Шаг 1: Переводим корень в степень

$\sqrt[3]{y^2}$ — это кубический корень из $y^2$, который можно записать как степень:

$$\sqrt[3]{y^2} = y^{\frac{2}{3}}$$

Шаг 2: Применяем правило умножения степеней с одинаковым основанием

Теперь у нас два одинаковых основания $y$ с степенями $\frac{7}{3}$ и $\frac{2}{3}$. Применяем правило для умножения степеней с одинаковым основанием:

$$y^{\frac{7}{3}} \cdot y^{\frac{2}{3}} = y^{\frac{7}{3} + \frac{2}{3}}$$

Шаг 3: Сложение дробей

Сложим дроби $\frac{7}{3}$ и $\frac{2}{3}$:

$$\frac{7}{3} + \frac{2}{3} = \frac{7+2}{3} = \frac{9}{3} = 3$$

Таким образом, получаем:

$$y^{\frac{7}{3} + \frac{2}{3}} = y^3$$

Ответ: $y^3$

в) $z^{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt[4]{z}$

Шаг 1: Переводим корень в степень

$\sqrt[4]{z}$ — это четвертый корень из $z$, который можно записать как степень:

$$\sqrt[4]{z} = z^{\frac{1}{4}}$$

Шаг 2: Применяем правило умножения степеней с одинаковым основанием

Теперь у нас два одинаковых основания $z$ с степенями $\frac{3}{4}$ и $\frac{1}{4}$. Применяем правило для умножения степеней с одинаковым основанием:

$$z^{\frac{3}{4}} \cdot z^{\frac{1}{4}} = z^{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}}$$

Шаг 3: Сложение дробей

Сложим дроби $\frac{3}{4}$ и $\frac{1}{4}$:

$$\frac{3}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3+1}{4} = \frac{4}{4} = 1$$

Таким образом, получаем:

$$z^{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}} = z^1 = z$$

Ответ: $z$

г) $\sqrt[4]{c^3} \cdot c^{\frac{1}{4}}$

Шаг 1: Переводим корень в степень

$\sqrt[4]{c^3}$ — это четвертый корень из $c^3$, который можно записать как степень:

$$\sqrt[4]{c^3} = c^{\frac{3}{4}}$$

Шаг 2: Применяем правило умножения степеней с одинаковым основанием

Теперь у нас два одинаковых основания $c$ с степенями $\frac{3}{4}$ и $\frac{1}{4}$. Применяем правило для умножения степеней с одинаковым основанием:

$$c^{\frac{3}{4}} \cdot c^{\frac{1}{4}} = c^{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}}$$

Шаг 3: Сложение дробей

Сложим дроби $\frac{3}{4}$ и $\frac{1}{4}$:

$$\frac{3}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3+1}{4} = \frac{4}{4} = 1$$

Таким образом, получаем:

$$c^{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}} = c^1 = c$$

Ответ: $c$

Итоговые ответы:

а) $x$

б) $y^3$

в) $z$

г) $c$