ГДЗ 10-11 Класс Номер 37.19 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $(a^{0.4}{)}^{\frac{1}{2}}\cdot a^{0.8}$

б) $\sqrt[10]{c}\cdot (c^{-1,2}{)}^{\frac{3}{4}}$

в) ${\left(x^{\frac{3}{4}}\right)}^{\frac{5}{4}}\cdot {\left(\sqrt[4]{x}\right)}^{\frac{17}{4}}$

г) $(b^{0.8}{)}^{\frac{3}{4}}\cdot {\left(b^{-\frac{2}{5}}\right)}^{-1.5}$

Упростить выражение:

а) $(a^{0.4})^{\frac{1}{2}} \cdot a^{0.8} = \left(a^{\frac{2}{5}}\right)^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{4}{5}} = a^{\frac{1}{5}} \cdot a^{\frac{4}{5}} = a^1 = a$;
Ответ: $a$.

б) $\sqrt[10]{c} \cdot (c^{-1,2})^{\frac{3}{4}} = c^{\frac{1}{10}} \cdot \left(c^{-\frac{6}{5}}\right)^{\frac{3}{4}} = c^{\frac{1}{10}} \cdot c^{-\frac{9}{10}} = c^{-\frac{8}{10}} = c^{-\frac{4}{5}} = \frac{1}{\sqrt[5]{c^4}}$;
Ответ: $\frac{1}{\sqrt[5]{c^4}}$.

в) $\left(x^{\frac{3}{4}}\right)^{\frac{5}{4}} \cdot \left(\sqrt[4]{x}\right)^{\frac{17}{4}} = x^{\frac{15}{16}} \cdot \left(x^{\frac{1}{4}}\right)^{\frac{17}{4}} = x^{\frac{15}{16}} \cdot x^{\frac{17}{16}} = x^{\frac{32}{16}} = x^2$;
Ответ: $x^2$.

г) $(b^{0.8})^{\frac{3}{4}} \cdot \left(b^{-\frac{2}{5}}\right)^{-1.5} = \left(b^{\frac{4}{5}}\right)^{-\frac{3}{4}} \cdot \left(b^{-\frac{2}{5}}\right)^{-\frac{3}{2}} = b^{-\frac{3}{5}} \cdot b^{\frac{3}{5}} = b^0 = 1$;
Ответ: $1$.

а) $(a^{0.4})^{\frac{1}{2}} \cdot a^{0.8}$

Шаг 1: Переводим степень в дробную форму

Перепишем степень $0.4$ как дробь:

$$0.4 = \frac{2}{5}$$

Таким образом, выражение становится:

$$\left(a^{0.4}\right)^{\frac{1}{2}} \cdot a^{0.8} = \left(a^{\frac{2}{5}}\right)^{\frac{1}{2}} \cdot a^{0.8}$$

Шаг 2: Применяем правило возведения степени в степень

Используем правило для возведения степени в степень, которое гласит:

$$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$

Применяем его к выражению $\left(a^{\frac{2}{5}}\right)^{\frac{1}{2}}$:

$$\left(a^{\frac{2}{5}}\right)^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2}} = a^{\frac{2}{10}} = a^{\frac{1}{5}}$$

Шаг 3: Умножаем степени с одинаковым основанием

Теперь у нас есть выражение:

$$a^{\frac{1}{5}} \cdot a^{0.8}$$

Переведем $0.8$ в дробь:

$$0.8 = \frac{4}{5}$$

Теперь у нас есть:

$$a^{\frac{1}{5}} \cdot a^{\frac{4}{5}}$$

Используем правило умножения степеней с одинаковым основанием:

$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$

Таким образом:

$$a^{\frac{1}{5}} \cdot a^{\frac{4}{5}} = a^{\frac{1}{5} + \frac{4}{5}} = a^1 = a$$

Ответ: $a$

б) $\sqrt[10]{c} \cdot (c^{-1,2})^{\frac{3}{4}}$

Шаг 1: Переводим корень в степень

Запишем $\sqrt[10]{c}$ как степень:

$$\sqrt[10]{c} = c^{\frac{1}{10}}$$

Таким образом, выражение преобразуется в:

$$c^{\frac{1}{10}} \cdot (c^{-1,2})^{\frac{3}{4}}$$

Шаг 2: Преобразуем $c^{-1,2}$

Запишем $-1,2$ как дробь:

$$-1,2 = -\frac{6}{5}$$

Теперь наше выражение выглядит так:

$$c^{\frac{1}{10}} \cdot (c^{-\frac{6}{5}})^{\frac{3}{4}}$$

Шаг 3: Применяем правило возведения степени в степень

Используем правило для возведения степени в степень:

$$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$

Применяем его к выражению $(c^{-\frac{6}{5}})^{\frac{3}{4}}$:

$$(c^{-\frac{6}{5}})^{\frac{3}{4}} = c^{-\frac{6}{5} \cdot \frac{3}{4}} = c^{-\frac{18}{20}} = c^{-\frac{9}{10}}$$

Шаг 4: Умножаем степени с одинаковым основанием

Теперь у нас есть:

$$c^{\frac{1}{10}} \cdot c^{-\frac{9}{10}}$$

Применяем правило умножения степеней:

$$c^{m} \cdot c^{n} = c^{m+n}$$

Таким образом:

$$c^{\frac{1}{10}} \cdot c^{-\frac{9}{10}} = c^{\frac{1}{10} — \frac{9}{10}} = c^{-\frac{8}{10}} = c^{-\frac{4}{5}}$$

Шаг 5: Преобразуем в дробь

Записываем степень $c^{-\frac{4}{5}}$ как дробь:

$$c^{-\frac{4}{5}} = \frac{1}{c^{\frac{4}{5}}}$$

Теперь можем записать степень $\frac{4}{5}$ как корень:

$$c^{\frac{4}{5}} = \sqrt[5]{c^4}$$

Таким образом:

$$\frac{1}{c^{\frac{4}{5}}} = \frac{1}{\sqrt[5]{c^4}}$$

Ответ: $\frac{1}{\sqrt[5]{c^4}}$

в) $\left(x^{\frac{3}{4}}\right)^{\frac{5}{4}} \cdot \left(\sqrt[4]{x}\right)^{\frac{17}{4}}$

Шаг 1: Применяем правило возведения степени в степень

Используем правило для возведения степени в степень:

$$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$

Применяем его к $\left(x^{\frac{3}{4}}\right)^{\frac{5}{4}}$:

$$\left(x^{\frac{3}{4}}\right)^{\frac{5}{4}} = x^{\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{4}} = x^{\frac{15}{16}}$$

Шаг 2: Преобразуем $\sqrt[4]{x}$

Запишем $\sqrt[4]{x}$ как степень:

$$\sqrt[4]{x} = x^{\frac{1}{4}}$$

Теперь выражение становится:

$$x^{\frac{15}{16}} \cdot \left(x^{\frac{1}{4}}\right)^{\frac{17}{4}}$$

Шаг 3: Применяем правило возведения степени в степень

Применяем правило для $\left(x^{\frac{1}{4}}\right)^{\frac{17}{4}}$:

$$\left(x^{\frac{1}{4}}\right)^{\frac{17}{4}} = x^{\frac{1}{4} \cdot \frac{17}{4}} = x^{\frac{17}{16}}$$

Шаг 4: Умножаем степени с одинаковым основанием

Теперь у нас есть:

$$x^{\frac{15}{16}} \cdot x^{\frac{17}{16}}$$

Применяем правило умножения степеней:

$$x^{m} \cdot x^{n} = x^{m+n}$$

Таким образом:

$$x^{\frac{15}{16}} \cdot x^{\frac{17}{16}} = x^{\frac{15+17}{16}} = x^{\frac{32}{16}} = x^2$$

Ответ: $x^2$

г) $(b^{0.8})^{\frac{3}{4}} \cdot \left(b^{-\frac{2}{5}}\right)^{-1.5}$

Шаг 1: Применяем правило возведения степени в степень

Используем правило для возведения степени в степень:

$$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$

Применяем его к $(b^{0.8})^{\frac{3}{4}}$:

$$(b^{0.8})^{\frac{3}{4}} = b^{0.8 \cdot \frac{3}{4}} = b^{\frac{2.4}{4}} = b^{\frac{4}{5}}$$

Шаг 2: Преобразуем степень в дробь

Запишем $0.8$ как дробь:

$$0.8 = \frac{4}{5}$$

Теперь у нас есть:

$$\left(b^{\frac{4}{5}}\right)^{-\frac{3}{4}} \cdot \left(b^{-\frac{2}{5}}\right)^{-\frac{3}{2}}$$

Шаг 3: Применяем правило для возведения степени в степень

Для первого выражения:

$$\left(b^{\frac{4}{5}}\right)^{-\frac{3}{4}} = b^{\frac{4}{5} \cdot -\frac{3}{4}} = b^{-\frac{12}{20}} = b^{-\frac{3}{5}}$$

Для второго выражения:

$$\left(b^{-\frac{2}{5}}\right)^{-\frac{3}{2}} = b^{-\frac{2}{5} \cdot -\frac{3}{2}} = b^{\frac{6}{10}} = b^{\frac{3}{5}}$$

Шаг 4: Умножаем степени с одинаковым основанием

Теперь у нас есть:

$$b^{-\frac{3}{5}} \cdot b^{\frac{3}{5}}$$

Применяем правило умножения степеней:

$$b^{m} \cdot b^{n} = b^{m+n}$$

Таким образом:

$$b^{-\frac{3}{5}} \cdot b^{\frac{3}{5}} = b^0 = 1$$

Ответ: $1$

Итоговые ответы:

а) $a$

б) $\frac{1}{\sqrt[5]{c^4}}$

в) $x^2$

г) $1$