ГДЗ 10-11 Класс Номер 37.20 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите значение выражения:

а) ${10}^{\frac{2}{5}}\cdot {10}^{\frac{1}{2}}\cdot {10}^{0,1}$

б) $2^{1,3}\cdot 2^{-0,7}\cdot 4^{0,7}$

в) ${49}^{-\frac{2}{3}}\cdot 7^{\frac{1}{12}}\cdot 7^{-\frac{3}{4}}$

г) ${25}^{0,3}\cdot 5^{1,4}\cdot {625}^{0,25}$

Найти значение выражения:

а) $10^{\frac{2}{5}} \cdot 10^{\frac{1}{2}} \cdot 10^{0,1} = 10^{0,4} \cdot 10^{0,5} \cdot 10^{0,1} = 10^1 = 10$;

Ответ: 10.

б) $2^{1,3} \cdot 2^{-0,7} \cdot 4^{0,7} = 2^{0,6} \cdot (2^2)^{0,7} = 2^{0,6} \cdot 2^{1,4} = 2^2 = 4$;

Ответ: 4.

в) $49^{-\frac{2}{3}} \cdot 7^{\frac{1}{12}} \cdot 7^{-\frac{3}{4}} = (7^2)^{-\frac{8}{12}} \cdot 7^{\frac{1}{12}} \cdot 7^{-\frac{9}{12}} = 7^{-\frac{16}{12}} \cdot 7^{-\frac{8}{12}} = 7^{-2} = \frac{1}{7^2} = \frac{1}{49}$;

Ответ: $\frac{1}{49}$.

г) $25^{0,3} \cdot 5^{1,4} \cdot 625^{0,25} = (5^2)^{0,3} \cdot 5^{1,4} \cdot (5^4)^{0,25} = 5^{0,6} \cdot 5^{1,4} \cdot 5^1 = 5^3 = 125$;

Ответ: 125.

а) $10^{\frac{2}{5}} \cdot 10^{\frac{1}{2}} \cdot 10^{0,1}$

Используем правило для степеней с одинаковым основанием:

$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$

Применяем это правило для выражения $10^{\frac{2}{5}} \cdot 10^{\frac{1}{2}} \cdot 10^{0,1}$.

Складываем показатели степеней:

$$\frac{2}{5} + \frac{1}{2} + 0,1$$

Для сложения дробей приведем их к общему знаменателю. Для чисел $\frac{2}{5}$, $\frac{1}{2}$, и $0,1$ удобным общим знаменателем будет 10. Приводим к знаменателю 10:

$$\frac{2}{5} = \frac{4}{10}, \quad \frac{1}{2} = \frac{5}{10}, \quad 0,1 = \frac{1}{10}$$

Складываем:

$$\frac{4}{10} + \frac{5}{10} + \frac{1}{10} = \frac{10}{10} = 1$$

Таким образом, выражение преобразуется в:

$$10^{\frac{10}{10}} = 10^1$$

Ответ:

$$10^1 = 10$$

б) $2^{1,3} \cdot 2^{-0,7} \cdot 4^{0,7}$

Перепишем выражение:
$4^{0,7}$ можно представить как $(2^2)^{0,7}$, так как $4 = 2^2$. Это даст:

$$2^{1,3} \cdot 2^{-0,7} \cdot (2^2)^{0,7}$$

Используем правило для степени степени: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Тогда:

$$(2^2)^{0,7} = 2^{2 \cdot 0,7} = 2^{1,4}$$

Подставляем в выражение:

$$2^{1,3} \cdot 2^{-0,7} \cdot 2^{1,4}$$

Теперь применяем правило для степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$$2^{1,3} \cdot 2^{-0,7} \cdot 2^{1,4} = 2^{1,3 + (-0,7) + 1,4}$$

Складываем показатели степеней:

$$1,3 + (-0,7) + 1,4 = 1,3 — 0,7 + 1,4 = 2$$

Таким образом, выражение превращается в:

$$2^2 = 4$$

Ответ:

$$4$$

в) $49^{-\frac{2}{3}} \cdot 7^{\frac{1}{12}} \cdot 7^{-\frac{3}{4}}$

Представляем $49$ как степень числа 7:
Так как $49 = 7^2$, то:

$$49^{-\frac{2}{3}} = (7^2)^{-\frac{2}{3}}$$

Используем правило для степени степени:

$$(7^2)^{-\frac{2}{3}} = 7^{2 \cdot (-\frac{2}{3})} = 7^{-\frac{4}{3}}$$

Подставляем в выражение:

$$7^{-\frac{4}{3}} \cdot 7^{\frac{1}{12}} \cdot 7^{-\frac{3}{4}}$$

Применяем правило для степеней с одинаковым основанием:

$$7^{-\frac{4}{3}} \cdot 7^{\frac{1}{12}} \cdot 7^{-\frac{3}{4}} = 7^{-\frac{4}{3} + \frac{1}{12} — \frac{3}{4}}$$

Приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 3, 12 и 4 — это 12. Приводим дроби:

$$-\frac{4}{3} = -\frac{16}{12}, \quad \frac{1}{12} = \frac{1}{12}, \quad -\frac{3}{4} = -\frac{9}{12}$$

Складываем показатели степеней:

$$-\frac{16}{12} + \frac{1}{12} — \frac{9}{12} = -\frac{16 + 1 — 9}{12} = -\frac{24}{12} = -2$$

Таким образом, выражение превращается в:

$$7^{-2} = \frac{1}{7^2} = \frac{1}{49}$$

Ответ:

$$\frac{1}{49}$$

г) $25^{0,3} \cdot 5^{1,4} \cdot 625^{0,25}$

Представляем $25$ и $625$ как степени числа 5:
Так как $25 = 5^2$ и $625 = 5^4$, то:

$$25^{0,3} = (5^2)^{0,3}, \quad 625^{0,25} = (5^4)^{0,25}$$

Используем правило для степени степени:

$$(5^2)^{0,3} = 5^{2 \cdot 0,3} = 5^{0,6}, \quad (5^4)^{0,25} = 5^{4 \cdot 0,25} = 5^1$$

Подставляем в выражение:

$$5^{0,6} \cdot 5^{1,4} \cdot 5^1$$

Применяем правило для степеней с одинаковым основанием:

$$5^{0,6} \cdot 5^{1,4} \cdot 5^1 = 5^{0,6 + 1,4 + 1}$$

Складываем показатели степеней:

$$0,6 + 1,4 + 1 = 3$$

Таким образом, выражение превращается в:

$$5^3 = 125$$

Ответ:

$$125$$

Итак, окончательные ответы:

а) $10$

б) $4$

в) $\frac{1}{49}$

г) $125$