ГДЗ 10-11 Класс Номер 37.23 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Упростите выражение:

а) $(m^{-3}{)}^{\frac{1}{3}}$

б) ${\left(8x^{-1\frac{1}{2}}\right)}^{\frac{2}{3}}$

в) ${\left(x^{-\frac{3}{4}}\right)}^{-\frac{2}{3}}$

г) $(81x^{-4}{)}^{-\frac{3}{4}}$

Упростить выражение:

а) $(m^{-3})^{\frac{1}{3}} = m^{-1} = \frac{1}{m}$;
Ответ: $\frac{1}{m}$.

б) $\left( 8x^{-1\frac{1}{2}} \right)^{\frac{2}{3}} = 8^{\frac{2}{3}} \cdot \left( x^{-\frac{1 \cdot 2 + 1}{2}} \right)^{\frac{2}{3}} = (2^3)^{\frac{2}{3}} \cdot \left( x^{-\frac{3}{2}} \right)^{\frac{2}{3}} = 2^2 \cdot x^{-1} = \frac{4}{x}$;
Ответ: $\frac{4}{x}$.

в) $\left( x^{-\frac{3}{4}} \right)^{-\frac{2}{3}} = x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}$;
Ответ: $\sqrt{x}$.

г) $(81x^{-4})^{-\frac{3}{4}} = 81^{-\frac{3}{4}} \cdot (x^{-4})^{-\frac{3}{4}} = (3^4)^{-\frac{3}{4}} \cdot x^3 = 3^{-3} \cdot x^3 = \frac{x^3}{3^3} = \frac{x^3}{27}$;
Ответ: $\frac{x^3}{27}$.

а) $(m^{-3})^{\frac{1}{3}}$

Начнем с того, что у нас есть степень с отрицательным показателем $m^{-3}$ и возведение его в степень $\frac{1}{3}$. Мы можем использовать правило возведения степени в степень, которое гласит:

$$(a^m)^n = a^{m \cdot n}.$$

Применим это правило:

$$(m^{-3})^{\frac{1}{3}} = m^{-3 \cdot \frac{1}{3}} = m^{-1}.$$

Мы знаем, что $m^{-1}$ означает $\frac{1}{m}$, так как для любого числа $a$ и положительного $n$ справедливо $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

Таким образом, получаем:

$$m^{-1} = \frac{1}{m}.$$

Ответ: $\boxed{\frac{1}{m}}$.

б) $\left( 8x^{-\frac{1}{2}} \right)^{\frac{2}{3}}$

Начнем с того, что распишем выражение и применим правило возведения произведения в степень:

$$\left( 8x^{-\frac{1}{2}} \right)^{\frac{2}{3}} = 8^{\frac{2}{3}} \cdot \left( x^{-\frac{1}{2}} \right)^{\frac{2}{3}}.$$

Сначала рассмотрим $8^{\frac{2}{3}}$. Мы знаем, что $8 = 2^3$, следовательно:

$$8^{\frac{2}{3}} = (2^3)^{\frac{2}{3}}.$$

Применяя правило возведения степени в степень, получаем:

$$(2^3)^{\frac{2}{3}} = 2^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 2^2 = 4.$$

Теперь рассмотрим $\left( x^{-\frac{1}{2}} \right)^{\frac{2}{3}}$. Применим правило возведения степени в степень:

$$\left( x^{-\frac{1}{2}} \right)^{\frac{2}{3}} = x^{-\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}} = x^{-\frac{2}{6}} = x^{-\frac{1}{3}}.$$

Теперь объединяем все части:

$$4 \cdot x^{-\frac{1}{3}}.$$

Мы можем записать это как:

$$\frac{4}{x^{\frac{1}{3}}}.$$

Ответ: $\boxed{\frac{4}{x}}$.

в) $\left( x^{-\frac{3}{4}} \right)^{-\frac{2}{3}}$

Мы видим, что у нас есть степень с отрицательным показателем $x^{-\frac{3}{4}}$, и мы возводим её в степень $-\frac{2}{3}$. Применим правило возведения степени в степень:

$$\left( x^{-\frac{3}{4}} \right)^{-\frac{2}{3}} = x^{-\frac{3}{4} \cdot -\frac{2}{3}}.$$

Теперь умножим показатели:

$$-\frac{3}{4} \cdot -\frac{2}{3} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}.$$

Таким образом, выражение упрощается до:

$$x^{\frac{1}{2}}.$$

Мы знаем, что $x^{\frac{1}{2}}$ — это квадратный корень из $x$, то есть:

$$x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}.$$

Ответ: $\boxed{\sqrt{x}}$.

г) $(81x^{-4})^{-\frac{3}{4}}$

Начнем с того, что у нас есть произведение $81x^{-4}$, и мы возводим его в степень $-\frac{3}{4}$. Применяем правило возведения произведения в степень:

$$(81x^{-4})^{-\frac{3}{4}} = 81^{-\frac{3}{4}} \cdot (x^{-4})^{-\frac{3}{4}}.$$

Рассмотрим $81^{-\frac{3}{4}}$. Мы знаем, что $81 = 3^4$, следовательно:

$$81^{-\frac{3}{4}} = (3^4)^{-\frac{3}{4}}.$$

Применяем правило возведения степени в степень:

$$(3^4)^{-\frac{3}{4}} = 3^{4 \cdot -\frac{3}{4}} = 3^{-3}.$$

Теперь рассмотрим $(x^{-4})^{-\frac{3}{4}}$. Применим правило возведения степени в степень:

$$(x^{-4})^{-\frac{3}{4}} = x^{-4 \cdot -\frac{3}{4}} = x^3.$$

Теперь объединяем все части:

$$3^{-3} \cdot x^3 = \frac{x^3}{3^3}.$$

Мы знаем, что $3^3 = 27$, поэтому выражение становится:

$$\frac{x^3}{27}.$$

Ответ: $\boxed{\frac{x^3}{27}}$.

Итоги:

а) $\frac{1}{m}$
б) $\frac{4}{x}$
в) $\sqrt{x}$
г) $\frac{x^3}{27}$