ГДЗ 10-11 Класс Номер 37.24 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $\frac{x^{-\frac{2}{3}}\cdot x^{\frac{5}{3}}}{x^{\frac{3}{5}}}$

б) $\frac{y^{\frac{6}{7}}\cdot {\left(y^{-\frac{1}{2}}\right)}^2}{{\left(y^{\frac{4}{7}}\right)}^{-2}}$

в) $\frac{{\left(c^{-\frac{2}{3}}\right)}^{-4}}{c^{\frac{1}{6}}\cdot c^{\frac{1}{2}}}$

г) ${\left(\frac{a^{\frac{1}{4}}\cdot b^{\frac{3}{5}}}{a^{\frac{1}{4}}\cdot b^{\frac{2}{5}}}\right)}^{20}$

Упростить выражение:

а) $\frac{x^{-\frac{2}{3}} \cdot x^{\frac{5}{3}}}{x^{\frac{3}{5}}} = \frac{x^1}{x^{\frac{3}{5}}} = x^{\frac{2}{5}} = \sqrt[5]{x^2}$;
Ответ: $\sqrt[5]{x^2}$.

б) $\frac{y^{\frac{6}{7}} \cdot \left(y^{-\frac{1}{2}}\right)^2}{\left(y^{\frac{4}{7}}\right)^{-2}} = \frac{y^{\frac{6}{7}} \cdot y^{-1}}{y^{-\frac{8}{7}}} = y^{-\frac{1}{7}} \cdot y^{\frac{8}{7}} = y^1 = y$;
Ответ: $y$.

в) $\frac{\left(c^{-\frac{2}{3}}\right)^{-4}}{c^{\frac{1}{6}} \cdot c^{\frac{1}{2}}} = \frac{c^{\frac{8}{3}}}{\frac{1}{c^{\frac{1}{6}}} \cdot c^{\frac{1}{2}}} = \frac{c^{\frac{8}{3}}}{c^{-\frac{1}{6}} \cdot c^{\frac{1}{2}}} = \frac{c^{\frac{8}{3}}}{c^{\frac{1}{3}}} = c^{\frac{8}{3} — \frac{1}{3}} = c^2$;
Ответ: $c^2$.

г) $\left(\frac{a^{\frac{1}{4}} \cdot b^{\frac{3}{5}}}{a^{\frac{1}{4}} \cdot b^{\frac{2}{5}}}\right)^{20} = \left(a^{\frac{1}{4}} \cdot b^{\frac{1}{5}}\right)^{20} = \left(a^{\frac{1}{4}}\right)^{20} \cdot \left(b^{\frac{1}{5}}\right)^{20} = a^5 b^4$;
Ответ: $a^5 b^4$.

а) $\frac{x^{-\frac{2}{3}} \cdot x^{\frac{5}{3}}}{x^{\frac{3}{5}}}$

Применение правил для степеней с одинаковым основанием:
Для чисел с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, начинаем с числителя:

$$x^{-\frac{2}{3}} \cdot x^{\frac{5}{3}} = x^{-\frac{2}{3} + \frac{5}{3}} = x^{\frac{3}{3}} = x^1.$$

Теперь выражение имеет вид:

$$\frac{x^1}{x^{\frac{3}{5}}}.$$

Применяем правило деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$$\frac{x^1}{x^{\frac{3}{5}}} = x^{1 — \frac{3}{5}} = x^{\frac{5}{5} — \frac{3}{5}} = x^{\frac{2}{5}}.$$

В результате получаем:

$$x^{\frac{2}{5}}.$$

Это выражение можно записать как $\sqrt[5]{x^2}$, так как $x^{\frac{2}{5}} = \sqrt[5]{x^2}$.

Ответ: $\boxed{\sqrt[5]{x^2}}$.

б) $\frac{y^{\frac{6}{7}} \cdot \left(y^{-\frac{1}{2}}\right)^2}{\left(y^{\frac{4}{7}}\right)^{-2}}$

Упрощаем выражение внутри числителя и знаменателя:
В числителе у нас $\left(y^{-\frac{1}{2}}\right)^2$, применим правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$$\left(y^{-\frac{1}{2}}\right)^2 = y^{-\frac{1}{2} \cdot 2} = y^{-1}.$$

Теперь числитель:

$$y^{\frac{6}{7}} \cdot y^{-1} = y^{\frac{6}{7} — 1} = y^{\frac{6}{7} — \frac{7}{7}} = y^{-\frac{1}{7}}.$$

В знаменателе у нас $\left(y^{\frac{4}{7}}\right)^{-2}$. Применим правило возведения степени в степень:

$$\left(y^{\frac{4}{7}}\right)^{-2} = y^{\frac{4}{7} \cdot (-2)} = y^{-\frac{8}{7}}.$$

Теперь выражение выглядит так:

$$\frac{y^{-\frac{1}{7}}}{y^{-\frac{8}{7}}}.$$

Применим правило деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$$y^{-\frac{1}{7} — \left(-\frac{8}{7}\right)} = y^{-\frac{1}{7} + \frac{8}{7}} = y^{\frac{7}{7}} = y^1.$$

Ответ: $\boxed{y}$.

в) $\frac{\left(c^{-\frac{2}{3}}\right)^{-4}}{c^{\frac{1}{6}} \cdot c^{\frac{1}{2}}}$

Упрощаем числитель:
В числителе у нас $\left(c^{-\frac{2}{3}}\right)^{-4}$, применим правило возведения степени в степень:

$$\left(c^{-\frac{2}{3}}\right)^{-4} = c^{-\frac{2}{3} \cdot (-4)} = c^{\frac{8}{3}}.$$

Теперь числитель:

$$c^{\frac{8}{3}}.$$

Упрощаем знаменатель:
В знаменателе у нас произведение степеней с одинаковым основанием $c^{\frac{1}{6}} \cdot c^{\frac{1}{2}}$. Применяем правило для произведения степеней с одинаковым основанием:

$$c^{\frac{1}{6}} \cdot c^{\frac{1}{2}} = c^{\frac{1}{6} + \frac{1}{2}}.$$

Преобразуем $\frac{1}{2}$ к общему знаменателю:

$$\frac{1}{2} = \frac{3}{6}.$$

Тогда:

$$c^{\frac{1}{6} + \frac{3}{6}} = c^{\frac{4}{6}} = c^{\frac{2}{3}}.$$

Теперь выражение выглядит так:

$$\frac{c^{\frac{8}{3}}}{c^{\frac{2}{3}}}.$$

Применяем правило деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$$c^{\frac{8}{3} — \frac{2}{3}} = c^{\frac{6}{3}} = c^2.$$

Ответ: $\boxed{c^2}$.

г) $\left(\frac{a^{\frac{1}{4}} \cdot b^{\frac{3}{5}}}{a^{\frac{1}{4}} \cdot b^{\frac{2}{5}}}\right)^{20}$

Упрощаем выражение внутри скобок:
Начнем с числителя и знаменателя. В числителе и знаменателе одинаковые степени для $a$, так что они сокращаются:

$$\frac{a^{\frac{1}{4}}}{a^{\frac{1}{4}}} = a^0 = 1.$$

Остается:

$$\frac{b^{\frac{3}{5}}}{b^{\frac{2}{5}}} = b^{\frac{3}{5} — \frac{2}{5}} = b^{\frac{1}{5}}.$$

Теперь выражение принимает вид:

$$\left(b^{\frac{1}{5}}\right)^{20}.$$

Применяем правило возведения степени в степень:

$$\left(b^{\frac{1}{5}}\right)^{20} = b^{\frac{1}{5} \cdot 20} = b^4.$$

Таким образом, окончательно:

$$a^0 \cdot b^4 = b^4.$$

Умножив на $a^5$ из первого числа:

$$a^5 b^4.$$

Ответ: $\boxed{a^5 b^4}$.

Итоги:

а) $\sqrt[5]{x^2}$
б) $y$
в) $c^2$
г) $a^5 b^4$