ГДЗ 10-11 Класс Номер 37.25 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Представьте выражение в виде суммы:

а) $(x^{\frac{1}{2}}-y^{\frac{1}{2}})\cdot x^{\frac{1}{2}}{y}^{\frac{1}{2}}$

б) $a^{\frac{2}{3}}{b}^{\frac{2}{3}}\cdot (a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}})$

в) $b^{\frac{1}{3}}{c}^{\frac{1}{4}}\cdot (b^{\frac{2}{3}}+c^{\frac{3}{4}})$

г) $x^{\frac{1}{2}}{y}^{\frac{1}{2}}\cdot (x^{\frac{1}{2}}-y^{\frac{3}{2}})$

Представить выражение в виде суммы:

а) $\left(x^{\frac{1}{2}} — y^{\frac{1}{2}}\right) \cdot x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} = xy^{\frac{1}{2}} — yx^{\frac{1}{2}} = x\sqrt{y} — y\sqrt{x}$;

б) $a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{2}{3}} \cdot \left(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}\right) = ab^{\frac{2}{3}} + ba^{\frac{2}{3}} = a^3\sqrt{b^2} + b^3\sqrt{a^2}$;

в) $b^{\frac{1}{3}}c^{\frac{1}{4}} \cdot \left(b^{\frac{2}{3}} + c^{\frac{3}{4}}\right) = bc^{\frac{1}{4}} + cb^{\frac{1}{3}} = b^4\sqrt{c} + c^3\sqrt{b}$;

г) $x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} \cdot \left(x^{\frac{1}{2}} — y^{\frac{3}{2}}\right) = xy^{\frac{1}{2}} — y^2x^{\frac{1}{2}} = x\sqrt{y} — y^2\sqrt{x}$.

а) $\left(x^{\frac{1}{2}} — y^{\frac{1}{2}}\right) \cdot x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}$

Раскрытие скобок:
Начнем с того, что мы должны раскрыть скобки. Для этого используем распределительное свойство умножения относительно разности:

$$\left(x^{\frac{1}{2}} — y^{\frac{1}{2}}\right) \cdot x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} — y^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}.$$

Первое слагаемое:
Рассмотрим первое слагаемое $x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}$. Мы можем объединить степени с одинаковым основанием $x$:

$$x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = x^1 = x.$$

Получаем:

$$x \cdot y^{\frac{1}{2}} = x \sqrt{y}.$$

Второе слагаемое:
Теперь второе слагаемое $y^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}$. Применим правила умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$$y^{\frac{1}{2}} \cdot y^{\frac{1}{2}} = y^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = y^1 = y.$$

Получаем:

$$x^{\frac{1}{2}} \cdot y = y \cdot x^{\frac{1}{2}} = y \sqrt{x}.$$

Теперь собираем оба слагаемых:

$$x \sqrt{y} — y \sqrt{x}.$$

Ответ: $\boxed{x\sqrt{y} — y\sqrt{x}}$.

б) $a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{2}{3}} \cdot \left(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}\right)$

Раскрытие скобок:
Применяем распределительное свойство для раскрытия скобок:

$$a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{2}{3}} \cdot \left(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}\right) = a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{2}{3}} \cdot a^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{2}{3}} \cdot b^{\frac{1}{3}}.$$

Первое слагаемое:
Рассмотрим первое слагаемое $a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{2}{3}} \cdot a^{\frac{1}{3}}$. Мы можем объединить степени с одинаковым основанием для $a$:

$$a^{\frac{2}{3}} \cdot a^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} = a^1 = a.$$

Получаем:

$$a \cdot b^{\frac{2}{3}} = ab^{\frac{2}{3}}.$$

Второе слагаемое:
Теперь второе слагаемое $a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{2}{3}} \cdot b^{\frac{1}{3}}$. Объединяем степени с одинаковым основанием для $b$:

$$b^{\frac{2}{3}} \cdot b^{\frac{1}{3}} = b^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} = b^1 = b.$$

Получаем:

$$a^{\frac{2}{3}} \cdot b = ba^{\frac{2}{3}}.$$

Теперь собираем оба слагаемых:

$$ab^{\frac{2}{3}} + ba^{\frac{2}{3}}.$$

Мы можем записать это как:

$$a^3 \sqrt{b^2} + b^3 \sqrt{a^2}.$$

Ответ: $\boxed{a^3 \sqrt{b^2} + b^3 \sqrt{a^2}}$.

в) $b^{\frac{1}{3}}c^{\frac{1}{4}} \cdot \left(b^{\frac{2}{3}} + c^{\frac{3}{4}}\right)$

Раскрытие скобок:
Раскрываем скобки с помощью распределительного свойства:

$$b^{\frac{1}{3}}c^{\frac{1}{4}} \cdot \left(b^{\frac{2}{3}} + c^{\frac{3}{4}}\right) = b^{\frac{1}{3}}c^{\frac{1}{4}} \cdot b^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{1}{3}}c^{\frac{1}{4}} \cdot c^{\frac{3}{4}}.$$

Первое слагаемое:
Рассмотрим первое слагаемое $b^{\frac{1}{3}}c^{\frac{1}{4}} \cdot b^{\frac{2}{3}}$. Объединяем степени с одинаковым основанием для $b$:

$$b^{\frac{1}{3}} \cdot b^{\frac{2}{3}} = b^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} = b^1 = b.$$

Получаем:

$$b \cdot c^{\frac{1}{4}} = bc^{\frac{1}{4}}.$$

Второе слагаемое:
Рассмотрим второе слагаемое $b^{\frac{1}{3}}c^{\frac{1}{4}} \cdot c^{\frac{3}{4}}$. Объединяем степени с одинаковым основанием для $c$:

$$c^{\frac{1}{4}} \cdot c^{\frac{3}{4}} = c^{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = c^1 = c.$$

Получаем:

$$b^{\frac{1}{3}} \cdot c = cb^{\frac{1}{3}}.$$

Теперь собираем оба слагаемых:

$$bc^{\frac{1}{4}} + cb^{\frac{1}{3}}.$$

Это можно записать как:

$$b^4 \sqrt{c} + c^3 \sqrt{b}.$$

Ответ: $\boxed{b^4 \sqrt{c} + c^3 \sqrt{b}}$.

г) $x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} \cdot \left(x^{\frac{1}{2}} — y^{\frac{3}{2}}\right)$

Раскрытие скобок:
Применяем распределительное свойство для раскрытия скобок:

$$x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} \cdot \left(x^{\frac{1}{2}} — y^{\frac{3}{2}}\right) = x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{2}} — x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} \cdot y^{\frac{3}{2}}.$$

Первое слагаемое:
Рассмотрим первое слагаемое $x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{2}}$. Объединяем степени с одинаковым основанием для $x$:

$$x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = x^1 = x.$$

Получаем:

$$x \cdot y^{\frac{1}{2}} = x \sqrt{y}.$$

Второе слагаемое:
Рассмотрим второе слагаемое $x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} \cdot y^{\frac{3}{2}}$. Объединяем степени с одинаковым основанием для $y$:

$$y^{\frac{1}{2}} \cdot y^{\frac{3}{2}} = y^{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}} = y^2.$$

Получаем:

$$x^{\frac{1}{2}} \cdot y^2 = y^2 \cdot x^{\frac{1}{2}} = y^2 \sqrt{x}.$$

Теперь собираем оба слагаемых:

$$x\sqrt{y} — y^2 \sqrt{x}.$$

Ответ: $\boxed{x\sqrt{y} — y^2\sqrt{x}}$.

Итоги:

а) $x\sqrt{y} — y\sqrt{x}$
б) $a^3 \sqrt{b^2} + b^3 \sqrt{a^2}$
в) $b^4 \sqrt{c} + c^3 \sqrt{b}$
г) $x\sqrt{y} — y^2\sqrt{x}$