ГДЗ 10-11 Класс Номер 37.26 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) ${(m^{\frac{1}{2}}+n^{\frac{1}{2}})}^2$

б) ${(1-c^{\frac{1}{3}})}^2{\mathrm{}}^{}$

в) ${(1+b^{\frac{1}{2}})}^2{\mathrm{}}^{}$

г) ${(a^{\frac{1}{2}}-2b^{\frac{1}{2}})}^2{}^{}$

Представить выражение в виде суммы:

а) $\left(m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}}\right)^2 = \left(m^{\frac{1}{2}}\right)^2 + 2m^{\frac{1}{2}}n^{\frac{1}{2}} + \left(n^{\frac{1}{2}}\right)^2 = m + 2\sqrt{mn} + n$;

б) $\left(1 — c^{\frac{1}{3}}\right)^2 = 1^2 — 2 \cdot 1 \cdot c^{\frac{1}{3}} + \left(c^{\frac{1}{3}}\right)^2 = 1 — 2\sqrt[3]{c} + \sqrt[3]{c^2}$;

в) $\left(1 + b^{\frac{1}{2}}\right)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot b^{\frac{1}{2}} + \left(b^{\frac{1}{2}}\right)^2 = 1 + 2\sqrt{b} + b$;

г) $\left(a^{\frac{1}{2}} — 2b^{\frac{1}{2}}\right)^2 = \left(a^{\frac{1}{2}}\right)^2 — 2 \cdot a^{\frac{1}{2}} \cdot 2b^{\frac{1}{2}} + \left(2b^{\frac{1}{2}}\right)^2 = a — 4\sqrt{ab} + 4b$

а) $\left(m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}}\right)^2$

Используем формулу квадрата суммы:
Формула квадрата суммы гласит:

$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.$$

В нашем случае $a = m^{\frac{1}{2}}$ и $b = n^{\frac{1}{2}}$.

Применяем эту формулу к нашему выражению:

$$\left(m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}}\right)^2 = \left(m^{\frac{1}{2}}\right)^2 + 2 \cdot m^{\frac{1}{2}} \cdot n^{\frac{1}{2}} + \left(n^{\frac{1}{2}}\right)^2.$$

Вычисляем каждую часть:

• $\left(m^{\frac{1}{2}}\right)^2 = m$,
• $\left(n^{\frac{1}{2}}\right)^2 = n$,
• $2 \cdot m^{\frac{1}{2}} \cdot n^{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{mn}$ (так как $m^{\frac{1}{2}} \cdot n^{\frac{1}{2}} = \sqrt{mn}$).

Теперь собираем все части:

$$m + 2\sqrt{mn} + n.$$

Ответ: $\boxed{m + 2\sqrt{mn} + n}$.

б) $\left(1 — c^{\frac{1}{3}}\right)^2$

Используем формулу квадрата разности:
Формула квадрата разности гласит:

$$(a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2.$$

В нашем случае $a = 1$ и $b = c^{\frac{1}{3}}$.

Применяем эту формулу к нашему выражению:

$$\left(1 — c^{\frac{1}{3}}\right)^2 = 1^2 — 2 \cdot 1 \cdot c^{\frac{1}{3}} + \left(c^{\frac{1}{3}}\right)^2.$$

Вычисляем каждую часть:

• $1^2 = 1$,
• $2 \cdot 1 \cdot c^{\frac{1}{3}} = 2c^{\frac{1}{3}}$,
• $\left(c^{\frac{1}{3}}\right)^2 = c^{\frac{2}{3}}$.

Теперь собираем все части:

$$1 — 2c^{\frac{1}{3}} + c^{\frac{2}{3}}.$$

Ответ: $\boxed{1 — 2\sqrt[3]{c} + \sqrt[3]{c^2}}$.

в) $\left(1 + b^{\frac{1}{2}}\right)^2$

Используем формулу квадрата суммы:
По аналогии с пунктом а), применяем формулу квадрата суммы:

$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.$$

В нашем случае $a = 1$ и $b = b^{\frac{1}{2}}$.

Применяем эту формулу к нашему выражению:

$$\left(1 + b^{\frac{1}{2}}\right)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot b^{\frac{1}{2}} + \left(b^{\frac{1}{2}}\right)^2.$$

Вычисляем каждую часть:

• $1^2 = 1$,
• $2 \cdot 1 \cdot b^{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{b}$,
• $\left(b^{\frac{1}{2}}\right)^2 = b$.

Теперь собираем все части:

$$1 + 2\sqrt{b} + b.$$

Ответ: $\boxed{1 + 2\sqrt{b} + b}$.

г) $\left(a^{\frac{1}{2}} — 2b^{\frac{1}{2}}\right)^2$

Используем формулу квадрата разности:
Как и в пункте б), для квадрата разности используем формулу:

$$(a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2.$$

В нашем случае $a = a^{\frac{1}{2}}$ и $b = 2b^{\frac{1}{2}}$.

Применяем эту формулу к нашему выражению:

$$\left(a^{\frac{1}{2}} — 2b^{\frac{1}{2}}\right)^2 = \left(a^{\frac{1}{2}}\right)^2 — 2 \cdot a^{\frac{1}{2}} \cdot 2b^{\frac{1}{2}} + \left(2b^{\frac{1}{2}}\right)^2.$$

Вычисляем каждую часть:

• $\left(a^{\frac{1}{2}}\right)^2 = a$,
• $2 \cdot a^{\frac{1}{2}} \cdot 2b^{\frac{1}{2}} = 4\sqrt{ab}$ (так как $a^{\frac{1}{2}} \cdot b^{\frac{1}{2}} = \sqrt{ab}$),
• $\left(2b^{\frac{1}{2}}\right)^2 = 4b$.

Теперь собираем все части:

$$a — 4\sqrt{ab} + 4b.$$

Ответ: $\boxed{a — 4\sqrt{ab} + 4b}$.

Итоги:

а) $m + 2\sqrt{mn} + n$
б) $1 — 2\sqrt[3]{c} + \sqrt[3]{c^2}$
в) $1 + 2\sqrt{b} + b$
г) $a — 4\sqrt{ab} + 4b$