ГДЗ 10-11 Класс Номер 37.29 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $\frac{c+c^{\frac{1}{2}}{d}^{\frac{1}{2}}+d}{c^{\frac{3}{2}}-d^{\frac{3}{2}}}$

б) $\frac{m+n}{m^{\frac{2}{3}}-m^{\frac{1}{3}}{n}^{\frac{1}{3}}+n^{\frac{2}{3}}}$

Сократить дробь:

а) $\frac{c + c^{\frac{1}{2}}d^{\frac{1}{2}} + d}{c^{\frac{3}{2}} — d^{\frac{3}{2}}} = \frac{c + c^{\frac{1}{2}}d^{\frac{1}{2}} + d}{\left(c^{\frac{1}{2}} — d^{\frac{1}{2}}\right)\left(c + c^{\frac{1}{2}}d^{\frac{1}{2}} + d\right)} = \frac{1}{c^{\frac{1}{2}} — d^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{c} — \sqrt{d}};$

б) $\frac{m + n}{m^{\frac{2}{3}} — m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{2}{3}}} = \frac{\left(m^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{1}{3}}\right)\left(m^{\frac{2}{3}} — m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{2}{3}}\right)}{m^{\frac{2}{3}} — m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{2}{3}}} = m^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{m} + \sqrt[3]{n}.$

а) $\frac{c + c^{\frac{1}{2}}d^{\frac{1}{2}} + d}{c^{\frac{3}{2}} — d^{\frac{3}{2}}}$

Шаг 1: Преобразуем знаменатель.
Знаменатель $c^{\frac{3}{2}} — d^{\frac{3}{2}}$ можно разложить по формуле разности кубов:

$$a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2),$$

где $a = c^{\frac{1}{2}}$ и $b = d^{\frac{1}{2}}$. Применяем эту формулу:

$$c^{\frac{3}{2}} — d^{\frac{3}{2}} = \left(c^{\frac{1}{2}} — d^{\frac{1}{2}}\right)\left(c^{\frac{1}{2} \cdot 2} + c^{\frac{1}{2}}d^{\frac{1}{2}} + d^{\frac{1}{2} \cdot 2}\right).$$

Преобразуем степени:

$$c^{\frac{1}{2} \cdot 2} = c, \quad d^{\frac{1}{2} \cdot 2} = d.$$

Таким образом, знаменатель принимает вид:

$$c^{\frac{3}{2}} — d^{\frac{3}{2}} = \left(c^{\frac{1}{2}} — d^{\frac{1}{2}}\right)\left(c + c^{\frac{1}{2}}d^{\frac{1}{2}} + d\right).$$

Шаг 2: Подставляем это выражение в исходную дробь.
Теперь подставим в исходное выражение:

$$\frac{c + c^{\frac{1}{2}}d^{\frac{1}{2}} + d}{c^{\frac{3}{2}} — d^{\frac{3}{2}}} = \frac{c + c^{\frac{1}{2}}d^{\frac{1}{2}} + d}{\left(c^{\frac{1}{2}} — d^{\frac{1}{2}}\right)\left(c + c^{\frac{1}{2}}d^{\frac{1}{2}} + d\right)}.$$

Шаг 3: Сокращаем одинаковые множители.
В числителе и знаменателе присутствует одинаковое выражение $c + c^{\frac{1}{2}}d^{\frac{1}{2}} + d$, которое можно сократить:

$$\frac{c + c^{\frac{1}{2}}d^{\frac{1}{2}} + d}{\left(c^{\frac{1}{2}} — d^{\frac{1}{2}}\right)\left(c + c^{\frac{1}{2}}d^{\frac{1}{2}} + d\right)} = \frac{1}{c^{\frac{1}{2}} — d^{\frac{1}{2}}}.$$

Шаг 4: Записываем окончательное выражение.
Теперь, используя свойство корней:

$$c^{\frac{1}{2}} = \sqrt{c}, \quad d^{\frac{1}{2}} = \sqrt{d},$$

получаем:

$$\frac{1}{c^{\frac{1}{2}} — d^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{c} — \sqrt{d}}.$$

Ответ:

$$\frac{1}{\sqrt{c} — \sqrt{d}}.$$

б) $\frac{m + n}{m^{\frac{2}{3}} — m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{2}{3}}}$

Шаг 1: Преобразуем знаменатель.
Знаменатель $m^{\frac{2}{3}} — m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{2}{3}}$ является разностью кубов, если представить его как разность двух выражений в кубах:

$$m^{\frac{2}{3}} + n^{\frac{2}{3}} — m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}} = \left(m^{\frac{1}{3}} — n^{\frac{1}{3}}\right)\left(m^{\frac{2}{3}} + m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{2}{3}}\right).$$

Шаг 2: Подставляем это выражение в исходную дробь.
Теперь подставим это в исходное выражение:

$$\frac{m + n}{m^{\frac{2}{3}} — m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{2}{3}}} = \frac{m + n}{\left(m^{\frac{1}{3}} — n^{\frac{1}{3}}\right)\left(m^{\frac{2}{3}} + m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{2}{3}}\right)}.$$

Шаг 3: Сокращаем одинаковые множители.
В числителе у нас $m + n$, что можно записать как:

$$m + n = \left(m^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{1}{3}}\right)\left(m^{\frac{2}{3}} + m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{2}{3}}\right),$$

так как:

$$\left(m^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{1}{3}}\right) \cdot \left(m^{\frac{2}{3}} + m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{2}{3}}\right) = m + n.$$

Подставляем и сокращаем:

$$\frac{\left(m^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{1}{3}}\right)\left(m^{\frac{2}{3}} + m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{2}{3}}\right)}{\left(m^{\frac{1}{3}} — n^{\frac{1}{3}}\right)\left(m^{\frac{2}{3}} + m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{2}{3}}\right)} = m^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{1}{3}}.$$

Шаг 4: Записываем окончательное выражение.
Записываем окончательное выражение, используя кубический корень:

$$m^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{m}, \quad n^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{n},$$

получаем:

$$m^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{m} + \sqrt[3]{n}.$$

Ответ:

$$\sqrt[3]{m} + \sqrt[3]{n}.$$